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数学3 極限問題 42 解説

方針・初手

与えられた2つの極限の式において、いずれも $x \to 1$ または $x \to -1$ のとき、分母である $x^2 - 1$ は $0$ に収束する。極限値が存在して分母が $0$ に収束する場合、分子も $0$ に収束しなければならない。

この性質から $f(1) = 0$ および $f(-1) = 0$ を導き、因数定理を利用して $f(x)$ の形を絞り込むのがもっとも効率的なアプローチである。

解法1

$$\lim_{x \to 1} \frac{f(x)}{x^2 - 1} = 4$$

において、$x \to 1$ のとき分母 $x^2 - 1 \to 0$ であるから、極限値が存在するためには分子 $f(x) \to 0$ でなければならない。 $f(x)$ は多項式であるから、極限値と関数値は一致する。よって、

$$f(1) = 0$$

同様に、

$$\lim_{x \to -1} \frac{f(x)}{x^2 - 1} = 2$$

において、$x \to -1$ のとき分母 $x^2 - 1 \to 0$ であるから、分子 $f(x) \to 0$ となり、

$$f(-1) = 0$$

因数定理より、$f(x)$ は $x - 1$ および $x + 1$ を因数にもつ。すなわち、$f(x)$ は $(x - 1)(x + 1) = x^2 - 1$ で割り切れる。また、$f(x)$ は $x^3$ の係数が $a$ である3次関数なので、定数 $p$ を用いて次のように表すことができる。

$$f(x) = (ax + p)(x^2 - 1)$$

これを与えられた極限の式にそれぞれ代入する。

$$\lim_{x \to 1} \frac{f(x)}{x^2 - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{(ax + p)(x^2 - 1)}{x^2 - 1} = \lim_{x \to 1} (ax + p) = a + p$$

これが $4$ に等しいので、

$$a + p = 4 \quad \cdots \text{①}$$

また、

$$\lim_{x \to -1} \frac{f(x)}{x^2 - 1} = \lim_{x \to -1} \frac{(ax + p)(x^2 - 1)}{x^2 - 1} = \lim_{x \to -1} (ax + p) = -a + p$$

これが $2$ に等しいので、

$$-a + p = 2 \quad \cdots \text{②}$$

①と②の連立方程式を解く。辺々を加えると $2p = 6$ となり、$p = 3$。これを①に代入して $a = 1$。

したがって、$f(x)$ は次のように求まる。

$$f(x) = (x + 3)(x^2 - 1) = x^3 + 3x^2 - x - 3$$

これを $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ と比較すると、以下のようになる。

$$a = 1, \quad b = 3, \quad c = -1, \quad d = -3$$

解法2

解法1と同様に、$f(1) = 0$ および $f(-1) = 0$ を導く。これを $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ に直接代入すると、

$$a + b + c + d = 0 \quad \cdots \text{③}$$

$$-a + b - c + d = 0 \quad \cdots \text{④}$$

③と④の辺々を加えると、

$$2b + 2d = 0$$

$$d = -b$$

③から④を引くと、

$$2a + 2c = 0$$

$$c = -a$$

これらを $f(x)$ の式に代入して整理する。

$$f(x) = ax^3 + bx^2 - ax - b$$

$$f(x) = ax(x^2 - 1) + b(x^2 - 1)$$

$$f(x) = (ax + b)(x^2 - 1)$$

これを極限の式に代入する。

$$\lim_{x \to 1} \frac{f(x)}{x^2 - 1} = \lim_{x \to 1} (ax + b) = a + b = 4$$

$$\lim_{x \to -1} \frac{f(x)}{x^2 - 1} = \lim_{x \to -1} (ax + b) = -a + b = 2$$

この連立方程式を解くと、辺々加えて $2b = 6$ より $b = 3$。 $a + 3 = 4$ より $a = 1$。

先ほど求めた関係式 $c = -a$, $d = -b$ に代入して、

$$c = -1, \quad d = -3$$

解説

「分数関数の極限が存在し、分母が $0$ に収束するならば、分子も $0$ に収束する」という極限の基本定理を利用する典型的な問題である。

この定理から $f(1)=0, f(-1)=0$ を得たのち、4つの未定係数 $a, b, c, d$ の連立方程式として愚直に処理しても解くことはできる（解法2）。しかし、因数定理を用いて $f(x)$ が $x^2-1$ で割り切れることを見抜き、$f(x) = (ax+p)(x^2-1)$ とおいて計算する（解法1）ほうが、未知数が $a$ と $p$ の2つに減るため、計算ミスを防ぎやすく見通しが良い。