数学3 極限 問題 48 解説

方針・初手

$x \to 1$ のとき、分母 $x - 1 \to 0$ となる。このとき、与えられた極限値 $b$ （有限確定値）が存在するためには、分子も $0$ に収束することが必要である。この必要条件から $a$ の値を求め、その後に求めた $a$ を代入して極限値を計算し、$b$ を決定する。

解法1

$x \to 1$ のとき、分母の極限は

$$\lim_{x \to 1} (x - 1) = 0$$

である。与えられた等式が成り立つためには極限値 $b$ が存在するので、分子の極限も $0$ にならなければならない。すなわち、

$$\lim_{x \to 1} (\sqrt{x + 3} - a) = 0$$

が成り立つ必要がある。左辺の極限を計算すると、

$$\sqrt{1 + 3} - a = 2 - a$$

となるので、

$$2 - a = 0$$

$$a = 2$$

を得る。

逆にこのとき、与式の左辺の極限を計算する。分子の有理化を行うと、

$$\begin{aligned} \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x + 3} - 2}{x - 1} &= \lim_{x \to 1} \frac{(\sqrt{x + 3} - 2)(\sqrt{x + 3} + 2)}{(x - 1)(\sqrt{x + 3} + 2)} \\ &= \lim_{x \to 1} \frac{(x + 3) - 4}{(x - 1)(\sqrt{x + 3} + 2)} \\ &= \lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{(x - 1)(\sqrt{x + 3} + 2)} \\ &= \lim_{x \to 1} \frac{1}{\sqrt{x + 3} + 2} \\ &= \frac{1}{\sqrt{4} + 2} \\ &= \frac{1}{4} \end{aligned}$$

となる。これが $b$ に等しいので、

$$b = \frac{1}{4}$$

である。これは極限値が存在し、その値が $b$ になるという十分条件を満たしている。

解法2

$x \to 1$ のとき、分母 $(x - 1) \to 0$ となることから、極限が有限確定値となるためには分子 $(\sqrt{x + 3} - a) \to 0$ となる必要があり、$a = 2$ を得る。ここまでは解法1と同様である。

$a = 2$ のとき、$f(x) = \sqrt{x + 3}$ とおくと、

$$f(1) = \sqrt{1 + 3} = 2$$

であるから、与式の左辺の極限は微分係数の定義式を用いて次のように表せる。

$$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x + 3} - 2}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = f'(1)$$

ここで、関数 $f(x)$ の導関数は、

$$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x + 3}}$$

である。したがって、求める極限値 $b$ は、

$$b = f'(1) = \frac{1}{2\sqrt{1 + 3}} = \frac{1}{4}$$

となる。

解説

分数関数 $\frac{f(x)}{g(x)}$ について、$x \to a$ のとき分母 $g(x) \to 0$ であり、かつ極限値 $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \alpha$（有限確定値）が存在するならば、分子 $f(x) \to 0$ となる。これは極限における非常に重要な性質であり、未定係数を決定する際の定石である。

必要条件から文字の値を求めた後には、必ずその値で元の極限が成り立つか（十分性）を確認する記述が必要である。「逆にこのとき〜」の一言を忘れないようにしたい。

極限の計算においては、根号を含む場合は分子または分母の有理化（解法1）が基本となるが、式が微分係数の定義 $\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} = f'(a)$ の形になっていることに気づけば、微分の計算に持ち込むこと（解法2）も可能である。計算量を減らす工夫として知っておくとよい。

答え

$a = 2, b = \frac{1}{4}$