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数学3 極限問題 49 解説

方針・初手

$x \to -\infty$ における無理関数の極限である。そのまま計算を進めると平方根の中と外で符号のミスを起こしやすいため、$t = -x$ とおいて $t \to \infty$ の極限に書き換えるのが安全かつ確実な方針である。書き換えたのち、$\infty - \infty$ の不定形となるため、分子の有理化を行う。

解法1

$t = -x$ とおくと、$x \to -\infty$ のとき $t \to \infty$ である。与式は以下のように書き換えられる。

$$\begin{aligned} \lim_{x \to -\infty} (\sqrt{x^2+3x} + x) &= \lim_{t \to \infty} (\sqrt{(-t)^2+3(-t)} - t) \\ &= \lim_{t \to \infty} (\sqrt{t^2-3t} - t) \end{aligned}$$

これは $\infty - \infty$ の不定形であるため、分子を有理化する。

$$\begin{aligned} \lim_{t \to \infty} (\sqrt{t^2-3t} - t) &= \lim_{t \to \infty} \frac{(\sqrt{t^2-3t} - t)(\sqrt{t^2-3t} + t)}{\sqrt{t^2-3t} + t} \\ &= \lim_{t \to \infty} \frac{(t^2-3t) - t^2}{\sqrt{t^2-3t} + t} \\ &= \lim_{t \to \infty} \frac{-3t}{\sqrt{t^2-3t} + t} \end{aligned}$$

分母と分子を $t$（$t > 0$ より $t = \sqrt{t^2}$）で割る。

$$\begin{aligned} \lim_{t \to \infty} \frac{-3t}{\sqrt{t^2-3t} + t} &= \lim_{t \to \infty} \frac{-3}{\sqrt{\frac{t^2-3t}{t^2}} + 1} \\ &= \lim_{t \to \infty} \frac{-3}{\sqrt{1-\frac{3}{t}} + 1} \end{aligned}$$

$t \to \infty$ のとき $\frac{3}{t} \to 0$ となるので、求める極限値は次のようになる。

$$\frac{-3}{\sqrt{1 - 0} + 1} = -\frac{3}{2}$$

解法2

$x \to -\infty$ の極限であるため、十分小さな $x$、すなわち $x < 0$ として計算を進める。分子の有理化を行う。

$$\begin{aligned} \lim_{x \to -\infty} (\sqrt{x^2+3x} + x) &= \lim_{x \to -\infty} \frac{(\sqrt{x^2+3x} + x)(\sqrt{x^2+3x} - x)}{\sqrt{x^2+3x} - x} \\ &= \lim_{x \to -\infty} \frac{(x^2+3x) - x^2}{\sqrt{x^2+3x} - x} \\ &= \lim_{x \to -\infty} \frac{3x}{\sqrt{x^2+3x} - x} \end{aligned}$$

分母と分子を $x$ で割る。このとき、$x < 0$ であるため、根号の中を割る際には $\frac{1}{x} = -\sqrt{\frac{1}{x^2}}$ となることに注意する。

$$\begin{aligned} \lim_{x \to -\infty} \frac{3x}{\sqrt{x^2+3x} - x} &= \lim_{x \to -\infty} \frac{3}{-\sqrt{\frac{x^2+3x}{x^2}} - 1} \\ &= \lim_{x \to -\infty} \frac{3}{-\sqrt{1+\frac{3}{x}} - 1} \end{aligned}$$

$x \to -\infty$ のとき $\frac{3}{x} \to 0$ となるので、求める極限値は次のようになる。

$$\frac{3}{-\sqrt{1 + 0} - 1} = -\frac{3}{2}$$

解説

マイナス無限大への極限における典型的な問題である。解法2のようにそのまま計算を進めると、$x < 0$ のときに $\sqrt{x^2} = |x| = -x$ となる性質（分母分子を $x$ で割って根号内に入れる際の符号）で計算ミスを誘発しやすい。そのため、解法1のように $t = -x$ とおいて、$t \to \infty$ （プラス無限大への極限）に置き換えてから計算する手法が確実であり、受験数学においても定石として推奨される。