数学3 極限 問題 50 解説

方針・初手

(1) は三角関数の積和の公式を利用して、積の形から和（差）の形へと変形する。 (2) は (1) で得られた等式を利用する。等式の両辺の和をとることで、右辺が階差の形になり中間項が相殺されることを用いる。極限については $\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ の基本公式に帰着させる。 (3) は (2) で求めた和と極限の結果を用いて計算する手法と、定積分で表す区分求積法を用いる手法の2通りが考えられる。問題の誘導に従うならば前者が自然であるが、後者も非常に簡潔である。

解法1

(1)

三角関数の積和の公式 $\sin A \sin B = -\frac{1}{2}\{\cos(A+B) - \cos(A-B)\}$ を用いる。

$$\sin\frac{\alpha}{2n}\sin\frac{k\alpha}{n} = -\frac{1}{2}\left\{ \cos\left(\frac{\alpha}{2n} + \frac{k\alpha}{n}\right) - \cos\left(\frac{\alpha}{2n} - \frac{k\alpha}{n}\right) \right\}$$

$$= -\frac{1}{2}\left\{ \cos\frac{(2k+1)\alpha}{2n} - \cos\frac{(1-2k)\alpha}{2n} \right\}$$

$\cos(-\theta) = \cos\theta$ であるから、

$$\sin\frac{\alpha}{2n}\sin\frac{k\alpha}{n} = \frac{1}{2}\left\{ \cos\frac{(2k-1)\alpha}{2n} - \cos\frac{(2k+1)\alpha}{2n} \right\}$$

(2)

(1) の結果において、両辺の $k=1, 2, \cdots, n$ までの和をとる。

$$\sum_{k=1}^n \sin\frac{\alpha}{2n}\sin\frac{k\alpha}{n} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^n \left\{ \cos\frac{(2k-1)\alpha}{2n} - \cos\frac{(2k+1)\alpha}{2n} \right\}$$

右辺の和を展開すると、

$$\frac{1}{2} \left\{ \left( \cos\frac{\alpha}{2n} - \cos\frac{3\alpha}{2n} \right) + \left( \cos\frac{3\alpha}{2n} - \cos\frac{5\alpha}{2n} \right) + \cdots + \left( \cos\frac{(2n-1)\alpha}{2n} - \cos\frac{(2n+1)\alpha}{2n} \right) \right\}$$

隣り合う項が次々と打ち消し合うため、

$$\sum_{k=1}^n \sin\frac{\alpha}{2n}\sin\frac{k\alpha}{n} = \frac{1}{2} \left\{ \cos\frac{\alpha}{2n} - \cos\frac{(2n+1)\alpha}{2n} \right\}$$

となる。ここで、$0 < \alpha < \pi$ および $n \ge 1$ より $0 < \frac{\alpha}{2n} < \frac{\pi}{2}$ であるから、$\sin\frac{\alpha}{2n} \neq 0$ である。両辺を $\sin\frac{\alpha}{2n}$ で割ると、

$$\sum_{k=1}^n \sin\frac{k\alpha}{n} = \frac{\cos\frac{\alpha}{2n} - \cos\frac{(2n+1)\alpha}{2n}}{2\sin\frac{\alpha}{2n}}$$

さらに、分子に和から積の公式 $\cos A - \cos B = -2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$ を用いて整理する。

$$\cos\frac{\alpha}{2n} - \cos\frac{(2n+1)\alpha}{2n} = -2\sin\frac{n+1}{2n}\alpha \sin\left(-\frac{\alpha}{2}\right) = 2\sin\frac{(n+1)\alpha}{2n}\sin\frac{\alpha}{2}$$

したがって、

$$\sum_{k=1}^n \sin\frac{k\alpha}{n} = \frac{\sin\frac{(n+1)\alpha}{2n}\sin\frac{\alpha}{2}}{\sin\frac{\alpha}{2n}}$$

次に、極限値について考える。$\frac{\alpha}{2n} = t$ とおくと、$n \to \infty$ のとき $t \to 0$ であるから、

$$\lim_{n\to\infty} n\sin\frac{\alpha}{2n} = \lim_{t\to 0} \frac{\alpha}{2t} \sin t = \lim_{t\to 0} \frac{\alpha}{2} \cdot \frac{\sin t}{t} = \frac{\alpha}{2} \cdot 1 = \frac{\alpha}{2}$$

(3)

(2) の結果を利用して極限を求める。

$$\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{n} \sin\frac{k\alpha}{n} = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \cdot \frac{\sin\frac{(n+1)\alpha}{2n}\sin\frac{\alpha}{2}}{\sin\frac{\alpha}{2n}}$$

$$= \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n\sin\frac{\alpha}{2n}} \cdot \sin\frac{(n+1)\alpha}{2n}\sin\frac{\alpha}{2}$$

ここで、

$$\lim_{n\to\infty} n\sin\frac{\alpha}{2n} = \frac{\alpha}{2}$$

$$\lim_{n\to\infty} \sin\frac{(n+1)\alpha}{2n} = \lim_{n\to\infty} \sin\left(\frac{\alpha}{2} + \frac{\alpha}{2n}\right) = \sin\frac{\alpha}{2}$$

であるから、

$$\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{n} \sin\frac{k\alpha}{n} = \frac{1}{\frac{\alpha}{2}} \cdot \sin\frac{\alpha}{2} \cdot \sin\frac{\alpha}{2} = \frac{2\sin^2\frac{\alpha}{2}}{\alpha}$$

半角の公式 $2\sin^2\frac{\alpha}{2} = 1 - \cos\alpha$ を用いると、

$$\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{n} \sin\frac{k\alpha}{n} = \frac{1-\cos\alpha}{\alpha}$$

解法2

(3) の別解

区分求積法を用いて定積分に帰着させる。

$$\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{n} \sin\frac{k\alpha}{n} = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \sin\left(\alpha \cdot \frac{k}{n}\right)$$

$$= \int_0^1 \sin(\alpha x) \,dx$$

これを計算すると、

$$\int_0^1 \sin(\alpha x) \,dx = \left[ -\frac{1}{\alpha}\cos(\alpha x) \right]_0^1$$

$$= -\frac{1}{\alpha}(\cos\alpha - \cos 0)$$

$$= \frac{1-\cos\alpha}{\alpha}$$

解説

本問は、数列の和と極限、そして積分との結びつきを問う典型的な総合問題である。

(1)、(2) で三角関数の和を求める手法は、等差数列を角度に持つ三角関数の和の計算において頻出のテクニックである。$\sin$ の差分を作り出すことで、項が次々と打ち消し合う「望遠鏡和」の形に持ち込むことができる。

(3) については、問題の構成上 (2) の結果を利用することが想定されているが、形から明らかに区分求積法が使えることに気づけば、解法2のように一瞬で正解にたどり着くことができる。試験本番では、より計算ミスのリスクが少ない区分求積法を選択するのもよいだろう。なお、区分求積法で求めた結果と (2) の誘導に基づく結果が一致するかどうかで、自身の計算の検算を行うことも可能である。

答え

(1) $\frac{1}{2}\left\{ \cos\frac{(2k-1)\alpha}{2n} - \cos\frac{(2k+1)\alpha}{2n} \right\}$

(2) $\sum_{k=1}^n \sin\frac{k\alpha}{n} = \frac{\sin\frac{(n+1)\alpha}{2n}\sin\frac{\alpha}{2}}{\sin\frac{\alpha}{2n}}$ （または $\frac{\cos\frac{\alpha}{2n} - \cos\frac{(2n+1)\alpha}{2n}}{2\sin\frac{\alpha}{2n}}$ など同値な式）、$\lim_{n\to\infty} n\sin\frac{\alpha}{2n} = \frac{\alpha}{2}$

(3) $\frac{1-\cos\alpha}{\alpha}$