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数学3 極限問題 51 解説

方針・初手

(1)は、関数 $f_n(\theta)$ を $\theta$ について微分し、増減を調べることで最大値を求める。導関数 $f_n'(\theta) = 0$ を満たす $\theta$ の値を具体的に求めることはできないため、$\cos\alpha = \frac{1}{n}$ を満たす角 $\alpha$ を導入し、最大値 $M_n$ を $n$ の式で表す。 (2)は、(1)で求めた $M_n$ を用いて $(M_n)^n$ の極限を計算する。自然対数の底 $e$ の定義である $\lim_{x\to 0}(1+x)^{\frac{1}{x}} = e$ や $\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n = e$ が利用できるように式を変形する。

解法1

(1)

$f_n(\theta) = (1 + \cos\theta)\sin^{n-1}\theta$ を $\theta$ について微分する。

$$\begin{aligned} f_n'(\theta) &= -\sin\theta \cdot \sin^{n-1}\theta + (1 + \cos\theta) \cdot (n-1)\sin^{n-2}\theta \cos\theta \\ &= -\sin^n\theta + (n-1)(1 + \cos\theta)\cos\theta \sin^{n-2}\theta \\ &= \sin^{n-2}\theta \left\{ -\sin^2\theta + (n-1)(\cos\theta + \cos^2\theta) \right\} \\ &= \sin^{n-2}\theta \left\{ (\cos^2\theta - 1) + (n-1)\cos\theta + (n-1)\cos^2\theta \right\} \\ &= \sin^{n-2}\theta \{ n\cos^2\theta + (n-1)\cos\theta - 1 \} \\ &= \sin^{n-2}\theta (n\cos\theta - 1)(\cos\theta + 1) \end{aligned}$$

$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ において $\sin\theta > 0$ かつ $\cos\theta + 1 > 0$ であるから、$f_n'(\theta)$ の符号は $n\cos\theta - 1$ の符号と一致する。

ここで、$0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$ において $\cos\theta$ は $1$ から $0$ まで単調に減少する。$n$ は $2$ 以上の自然数であるから $0 < \frac{1}{n} < 1$ であり、$\cos\alpha = \frac{1}{n}$ を満たす $\alpha$ が $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ の範囲にただ1つ存在する。

$0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$ における $f_n(\theta)$ の増減表は以下のようになる。

$\theta$	$0$	$\cdots$	$\alpha$	$\cdots$	$\frac{\pi}{2}$
$f_n'(\theta)$		$+$	$0$	$-$
$f_n(\theta)$		$\nearrow$	極大かつ最大	$\searrow$

よって、$f_n(\theta)$ は $\theta = \alpha$ のとき最大値をとる。

$$\cos\alpha = \frac{1}{n}$$

より、$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ において $\sin\alpha > 0$ であるから、

$$\sin\alpha = \sqrt{1 - \cos^2\alpha} = \sqrt{1 - \frac{1}{n^2}}$$

したがって、最大値 $M_n$ は以下のようになる。

$$\begin{aligned} M_n &= f_n(\alpha) \\ &= (1 + \cos\alpha)\sin^{n-1}\alpha \\ &= \left( 1 + \frac{1}{n} \right) \left( \sqrt{1 - \frac{1}{n^2}} \right)^{n-1} \\ &= \left( 1 + \frac{1}{n} \right) \left( 1 - \frac{1}{n^2} \right)^{\frac{n-1}{2}} \end{aligned}$$

(2)

(1) の結果より、$(M_n)^n$ は次のように変形できる。

$$\begin{aligned} (M_n)^n &= \left\{ \left( 1 + \frac{1}{n} \right) \left( 1 - \frac{1}{n^2} \right)^{\frac{n-1}{2}} \right\}^n \\ &= \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n \left( 1 - \frac{1}{n^2} \right)^{\frac{n(n-1)}{2}} \\ &= \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n \left\{ \left( 1 - \frac{1}{n^2} \right)^{-n^2} \right\}^{-\frac{n-1}{2n}} \end{aligned}$$

ここで、$n \to \infty$ のとき、

$$\lim_{n\to\infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n = e$$

である。また、$t = -\frac{1}{n^2}$ とおくと、$n \to \infty$ のとき $t \to 0$ であるから、

$$\lim_{n\to\infty} \left( 1 - \frac{1}{n^2} \right)^{-n^2} = \lim_{t\to 0} (1+t)^{\frac{1}{t}} = e$$

さらに、指数の極限は

$$\lim_{n\to\infty} \left( -\frac{n-1}{2n} \right) = \lim_{n\to\infty} \left( -\frac{1}{2} + \frac{1}{2n} \right) = -\frac{1}{2}$$

となる。以上より、求める極限は以下のようになる。

$$\lim_{n\to\infty} (M_n)^n = e \cdot e^{-\frac{1}{2}} = e^{\frac{1}{2}} = \sqrt{e}$$

解説

導関数が $0$ になる値が直接求まらない場合に、自ら文字（ここでは $\alpha$）を置いて議論を進める典型問題である。文字を置いた後は、その文字が満たす関係式（$\cos\alpha = \frac{1}{n}$ など）を用いて最大値を計算可能な形に整理していく。 (2) の極限計算では、自然対数の底 $e$ の定義式を作ることがポイントとなる。複雑な累乗の極限では、$(1 + x)^{\frac{1}{x}} \to e \ (x \to 0)$ の形に帰着させるよう、指数部分を無理やり作り出し、帳尻を合わせる変形が有効である。