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数学3 極限問題 52 解説

方針・初手

極限 $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ を利用するために、$x - \frac{\pi}{2} = t$ とおいて $t \to 0$ の極限に帰着させるか、微分の定義式 $\displaystyle f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$ に当てはまる形であることに着目する。

解法1

$t = x - \frac{\pi}{2}$ とおく。

$x \to \frac{\pi}{2}$ のとき $t \to 0$ であり、$x = t + \frac{\pi}{2}$ である。与えられた極限の式は次のように変形できる。

$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\sin(2 \cos x)}{x - \frac{\pi}{2}} = \lim_{t \to 0} \frac{\sin \left( 2 \cos \left( t + \frac{\pi}{2} \right) \right)}{t}$$

ここで、加法定理または三角関数の性質から $\cos \left( t + \frac{\pi}{2} \right) = -\sin t$ である。また、$\sin(-\theta) = -\sin\theta$ であることを用いると、

$$\lim_{t \to 0} \frac{\sin(-2 \sin t)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{-\sin(2 \sin t)}{t}$$

となる。公式 $\displaystyle \lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$ を使える形に式を変形する。

$$\lim_{t \to 0} \left( -\frac{\sin(2 \sin t)}{2 \sin t} \cdot \frac{2 \sin t}{t} \right)$$

$t \to 0$ のとき、$2 \sin t \to 0$ であるから、

$$\lim_{t \to 0} \frac{\sin(2 \sin t)}{2 \sin t} = 1$$

となる。また、

$$\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1$$

である。したがって、求める極限値は

$$-1 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 1 = -2$$

となる。

解法2

$f(x) = \sin(2 \cos x)$ とおく。

$f \left( \frac{\pi}{2} \right) = \sin \left( 2 \cos \frac{\pi}{2} \right) = \sin 0 = 0$ である。

したがって、与えられた極限は関数 $f(x)$ の $x = \frac{\pi}{2}$ における微分係数 $f' \left( \frac{\pi}{2} \right)$ の定義式そのものを表している。

$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\sin(2 \cos x)}{x - \frac{\pi}{2}} = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{f(x) - f \left( \frac{\pi}{2} \right)}{x - \frac{\pi}{2}} = f' \left( \frac{\pi}{2} \right)$$

ここで、合成関数の微分法により $f'(x)$ を求める。

$$f'(x) = \cos(2 \cos x) \cdot (2 \cos x)' = \cos(2 \cos x) \cdot (-2 \sin x) = -2 \sin x \cos(2 \cos x)$$

よって、$x = \frac{\pi}{2}$ を代入すると、

$$f' \left( \frac{\pi}{2} \right) = -2 \sin \frac{\pi}{2} \cos \left( 2 \cos \frac{\pi}{2} \right) = -2 \cdot 1 \cdot \cos 0 = -2 \cdot 1 \cdot 1 = -2$$

となる。