数学3 極限 問題 53 解説

方針・初手

対数関数の真数部分の極限を求める問題である。自然対数の底 $e$ の定義である $\lim_{h \to 0} (1+h)^{\frac{1}{h}} = e$ や $\lim_{x \to \infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^x = e$ に帰着させることを目標に変形する。真数部分の式が因数分解できることに気付けば、計算を非常に簡略化できる。

解法1

対数の真数部分を因数分解して変形する。

$$1 + \frac{a+b}{n} + \frac{ab}{n^2} = \left( 1 + \frac{a}{n} \right) \left( 1 + \frac{b}{n} \right)$$

であるから、与式の極限は対数の性質を用いて次のように分解できる。

$$\lim_{n \to \infty} \log \left( 1 + \frac{a+b}{n} + \frac{ab}{n^2} \right)^n = \lim_{n \to \infty} \log \left\{ \left( 1 + \frac{a}{n} \right) \left( 1 + \frac{b}{n} \right) \right\}^n$$

$$= \lim_{n \to \infty} \left\{ \log \left( 1 + \frac{a}{n} \right)^n + \log \left( 1 + \frac{b}{n} \right)^n \right\}$$

ここで、自然対数の底 $e$ の定義に帰着させるため、指数部分を調整する。$a$ は正の数であるから、

$$\lim_{n \to \infty} \log \left( 1 + \frac{a}{n} \right)^n = \lim_{n \to \infty} \log \left\{ \left( 1 + \frac{a}{n} \right)^{\frac{n}{a}} \right\}^a$$

$n \to \infty$ のとき $\frac{n}{a} \to \infty$ となるので、$\lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{a}{n} \right)^{\frac{n}{a}} = e$ が成り立つ。したがって、

$$\lim_{n \to \infty} \log \left\{ \left( 1 + \frac{a}{n} \right)^{\frac{n}{a}} \right\}^a = \log e^a = a$$

同様にして、$b$ も正の数であるから、

$$\lim_{n \to \infty} \log \left( 1 + \frac{b}{n} \right)^n = \log e^b = b$$

以上より、求める極限は

$$\lim_{n \to \infty} \left\{ \log \left( 1 + \frac{a}{n} \right)^n + \log \left( 1 + \frac{b}{n} \right)^n \right\} = a + b$$

解法2

因数分解を用いず、塊を一つの変数とみなして自然対数の底の定義に持ち込む。

$$x = \frac{a+b}{n} + \frac{ab}{n^2}$$

とおく。$n \to \infty$ のとき $x \to 0$ である。与式の極限は次のように表される。

$$\lim_{n \to \infty} \log (1+x)^n = \lim_{n \to \infty} n \log (1+x)$$

$$= \lim_{n \to \infty} nx \cdot \frac{1}{x} \log (1+x)$$

ここで、$nx$ について計算すると、

$$nx = n \left( \frac{a+b}{n} + \frac{ab}{n^2} \right) = a + b + \frac{ab}{n}$$

であるから、$n \to \infty$ のとき $nx \to a+b$ となる。

また、$x \to 0$ のときの極限について、

$$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \log (1+x) = \lim_{x \to 0} \log (1+x)^{\frac{1}{x}} = \log e = 1$$

が成り立つ。したがって、求める極限値は

$$\lim_{n \to \infty} nx \cdot \frac{1}{x} \log (1+x) = (a+b) \cdot 1 = a + b$$

解説

自然対数の底 $e$ を用いた極限の公式 $\lim_{h \to 0} \frac{\log(1+h)}{h} = 1$ または $\lim_{x \to \infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^x = e$ を利用する典型問題である。

解法1のようにカッコ内が $a$ と $b$ に関して対称であり、$\left( 1 + \frac{a}{n} \right)\left( 1 + \frac{b}{n} \right)$ と因数分解できることに気付けば、計算が見通しよく進む。

解法2は因数分解に気付かなかった場合でも、極限が $0$ に収束する部分全体を文字で置換し、基本形に無理やり帰着させる汎用性の高いアプローチである。極限計算において形を合わせる操作は重要であるため、どちらの方針でも解けるようにしておきたい。

答え

$a+b$