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数学3 極限問題 54 解説

方針・初手

(1) は与えられた関数の導関数を求め、接線の方程式を立てて $y$ 切片を求めるだけの基本的な微分の計算問題である。 (2) は (1) で求めた $f_n(t)$ を微分し、$t>0$ の範囲での増減を調べる。極値をとる $t$ の値がそれぞれ $a_n, b_n$ となるため、導関数 $f_n'(t)$ の符号変化を正確に判定する。 (3) は (2) で求めた無理式を含む数列の極限を求める。ルートの差の形になっているため、分子の有理化を行ってから極限をとるという定石に従う。

解法1

(1)

$g(x) = x^n e^{-x}$ とおく。積の微分法を用いると、導関数は以下のようになる。

$$g'(x) = n x^{n-1} e^{-x} + x^n (-e^{-x}) = x^{n-1}(n-x)e^{-x}$$

曲線上の点 $(t, t^n e^{-t})$ における接線の方程式は、

$$y - t^n e^{-t} = t^{n-1}(n-t)e^{-t} (x - t)$$

この接線と $y$ 軸との交点の $y$ 座標が $f_n(t)$ であるから、上式に $x=0$ を代入する。

$$\begin{aligned} f_n(t) &= t^{n-1}(n-t)e^{-t}(-t) + t^n e^{-t} \\ &= -t^n(n-t)e^{-t} + t^n e^{-t} \\ &= t^n e^{-t} \{ -(n-t) + 1 \} \\ &= t^n(t - n + 1)e^{-t} \end{aligned}$$

(2)

(1) の結果より、$f_n(t) = (t^{n+1} - (n-1)t^n)e^{-t}$ である。積の微分法を用いて $f_n(t)$ を $t$ で微分する。

$$\begin{aligned} f_n'(t) &= \{ (n+1)t^n - n(n-1)t^{n-1} \} e^{-t} + (t^{n+1} - (n-1)t^n)(-e^{-t}) \\ &= t^{n-1} e^{-t} \{ (n+1)t - n(n-1) - t^2 + (n-1)t \} \\ &= t^{n-1} e^{-t} \{ -t^2 + 2nt - n(n-1) \} \\ &= -t^{n-1} e^{-t} \{ t^2 - 2nt + n(n-1) \} \end{aligned}$$

$f_n'(t) = 0$ とすると、$t>0$ の範囲では $t^{n-1} e^{-t} > 0$ であるから、

$$t^2 - 2nt + n(n-1) = 0$$

二次方程式の解の公式により、

$$t = n \pm \sqrt{n^2 - n(n-1)} = n \pm \sqrt{n}$$

$n$ は2以上の自然数であるから、$\sqrt{n} > 1$ であり、

$$n - \sqrt{n} = \sqrt{n}(\sqrt{n} - 1) > 0$$

よって、$t = n \pm \sqrt{n}$ はどちらも $t>0$ の範囲にある。ここで、$\alpha = n - \sqrt{n}, \beta = n + \sqrt{n}$ とおくと、$f_n'(t) = -t^{n-1}e^{-t}(t-\alpha)(t-\beta)$ と因数分解できる。 $t>0$ における $f_n(t)$ の増減表は以下のようになる。

$t$	$(0)$	$\cdots$	$n-\sqrt{n}$	$\cdots$	$n+\sqrt{n}$	$\cdots$
$f_n'(t)$		$-$	$0$	$+$	$0$	$-$
$f_n(t)$		$\searrow$	極小	$\nearrow$	極大	$\searrow$

増減表より、$f_n(t)$ は $t = n - \sqrt{n}$ で極小となり、$t = n + \sqrt{n}$ で極大となる。したがって、極大となる $t$ が $a_n$、極小となる $t$ が $b_n$ であるから、

$$a_n = n + \sqrt{n}, \quad b_n = n - \sqrt{n}$$

(3)

(2) の結果より、極限値 $L$ を計算する。

$$L = \lim_{n \to \infty} \left( \sqrt{n + \sqrt{n}} - \sqrt{n - \sqrt{n}} \right)$$

分子の有理化を行う。

$$\begin{aligned} \sqrt{n + \sqrt{n}} - \sqrt{n - \sqrt{n}} &= \frac{(\sqrt{n + \sqrt{n}} - \sqrt{n - \sqrt{n}})(\sqrt{n + \sqrt{n}} + \sqrt{n - \sqrt{n}})}{\sqrt{n + \sqrt{n}} + \sqrt{n - \sqrt{n}}} \\ &= \frac{(n + \sqrt{n}) - (n - \sqrt{n})}{\sqrt{n + \sqrt{n}} + \sqrt{n - \sqrt{n}}} \\ &= \frac{2\sqrt{n}}{\sqrt{n + \sqrt{n}} + \sqrt{n - \sqrt{n}}} \end{aligned}$$

分母と分子を $\sqrt{n}$ で割る。

$$\frac{2\sqrt{n}}{\sqrt{n + \sqrt{n}} + \sqrt{n - \sqrt{n}}} = \frac{2}{\sqrt{1 + \frac{1}{\sqrt{n}}} + \sqrt{1 - \frac{1}{\sqrt{n}}}}$$

$n \to \infty$ のとき $\frac{1}{\sqrt{n}} \to 0$ であるから、

$$L = \frac{2}{\sqrt{1 + 0} + \sqrt{1 - 0}} = \frac{2}{2} = 1$$

解説

微積分と数列の極限を組み合わせた、典型的な融合問題である。 (1) と (2) は微分の計算を確実に行えば問題なく解ける。$f_n(t)$ を微分する際、展開してから微分するか、積の微分法を用いるかは自由だが、最終的に因数分解しやすい形に整理することが重要である。また、導関数から増減表を作成し極値を判定する際、$n \ge 2$ の条件から極値をとる $t$ の値が正になることを確認する記述を怠らないようにしたい。 (3) の無理式の極限は、「$\infty - \infty$」の不定形であるため、分母に $1$ があるとみなして分子を有理化する標準的な手法を用いる。分母分子を何で割れば収束する形になるかを正確に見極める必要がある。