数学3 極限 問題 55 解説

方針・初手

• $I_n$ は与えられた関数について具体的に和を計算する。
• 定積分の値も計算し、式 $n \left( I_n - \int_{0}^{1} f(x) dx \right)$ に代入して $n$ の式として整理する。
• 最後に $n \to \infty$ の極限をとる。(3) では問題文で与えられている極限の式を適用できるように、和の計算結果を式変形する。

解法1

(1)

$f(x) = x^2$ のとき、

$$I_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n} \left( \frac{k}{n} \right)^2 = \frac{1}{n^3} \sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3} = \frac{2n^2+3n+1}{6n^2}$$

また、定積分は、

$$\int_{0}^{1} x^2 dx = \left[ \frac{1}{3} x^3 \right]_{0}^{1} = \frac{1}{3}$$

である。よって、

$$\begin{aligned} n \left( I_n - \int_{0}^{1} x^2 dx \right) &= n \left( \frac{2n^2+3n+1}{6n^2} - \frac{1}{3} \right) \\ &= n \cdot \frac{2n^2+3n+1-2n^2}{6n^2} \\ &= n \cdot \frac{3n+1}{6n^2} \\ &= \frac{3n+1}{6n} \\ &= \frac{1}{2} + \frac{1}{6n} \end{aligned}$$

となる。したがって、求める極限値 $D$ は、

$$D = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{6n} \right) = \frac{1}{2}$$

(2)

$f(x) = x^3$ のとき、

$$I_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n} \left( \frac{k}{n} \right)^3 = \frac{1}{n^4} \sum_{k=1}^{n} k^3 = \frac{1}{n^4} \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2 = \frac{n^2(n+1)^2}{4n^4} = \frac{n^2+2n+1}{4n^2}$$

また、定積分は、

$$\int_{0}^{1} x^3 dx = \left[ \frac{1}{4} x^4 \right]_{0}^{1} = \frac{1}{4}$$

である。よって、

$$\begin{aligned} n \left( I_n - \int_{0}^{1} x^3 dx \right) &= n \left( \frac{n^2+2n+1}{4n^2} - \frac{1}{4} \right) \\ &= n \cdot \frac{n^2+2n+1-n^2}{4n^2} \\ &= n \cdot \frac{2n+1}{4n^2} \\ &= \frac{2n+1}{4n} \\ &= \frac{1}{2} + \frac{1}{4n} \end{aligned}$$

となる。したがって、求める極限値 $D$ は、

$$D = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{4n} \right) = \frac{1}{2}$$

(3)

$f(x) = e^x$ のとき、

$$I_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n} e^{\frac{k}{n}} = \frac{1}{n} \cdot \frac{e^{\frac{1}{n}} \left( \left( e^{\frac{1}{n}} \right)^n - 1 \right)}{e^{\frac{1}{n}} - 1} = \frac{e^{\frac{1}{n}}(e-1)}{n \left( e^{\frac{1}{n}} - 1 \right)}$$

また、定積分は、

$$\int_{0}^{1} e^x dx = \left[ e^x \right]_{0}^{1} = e - 1$$

である。よって、

$$\begin{aligned} n \left( I_n - \int_{0}^{1} e^x dx \right) &= n \left( \frac{e^{\frac{1}{n}}(e-1)}{n \left( e^{\frac{1}{n}} - 1 \right)} - (e-1) \right) \\ &= n(e-1) \frac{e^{\frac{1}{n}} - n \left( e^{\frac{1}{n}} - 1 \right)}{n \left( e^{\frac{1}{n}} - 1 \right)} \\ &= (e-1) \frac{e^{\frac{1}{n}} - n \left( e^{\frac{1}{n}} - 1 \right)}{e^{\frac{1}{n}} - 1} \end{aligned}$$

ここで、与えられた等式 $e^{\frac{1}{n}} = 1 + \frac{1}{n} + a_n$ すなわち $e^{\frac{1}{n}} - 1 = \frac{1}{n} + a_n$ を代入する。

$$\begin{aligned} n \left( I_n - \int_{0}^{1} e^x dx \right) &= (e-1) \frac{1 + \frac{1}{n} + a_n - n \left( \frac{1}{n} + a_n \right)}{\frac{1}{n} + a_n} \\ &= (e-1) \frac{1 + \frac{1}{n} + a_n - 1 - n a_n}{\frac{1}{n} + a_n} \\ &= (e-1) \frac{\frac{1}{n} + a_n - n a_n}{\frac{1}{n} + a_n} \end{aligned}$$

分母分子に $n$ を掛けて整理すると、

$$n \left( I_n - \int_{0}^{1} e^x dx \right) = (e-1) \frac{1 + n a_n - n^2 a_n}{1 + n a_n}$$

となる。条件 $\lim_{n \to \infty} n^2 a_n = \frac{1}{2}$ より、

$$\lim_{n \to \infty} n a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \left( n^2 a_n \right) = 0 \cdot \frac{1}{2} = 0$$

である。したがって、求める極限値 $D$ は、

$$\begin{aligned} D &= \lim_{n \to \infty} (e-1) \frac{1 + n a_n - n^2 a_n}{1 + n a_n} \\ &= (e-1) \frac{1 + 0 - \frac{1}{2}}{1 + 0} \\ &= \frac{e-1}{2} \end{aligned}$$

解説

• 区分求積法における和の近似誤差に関する背景をもつ問題である。一般の関数 $f(x)$ に対して、長方形近似の誤差に $n$ を掛けたものの極限は $\frac{f(1)-f(0)}{2}$ になることが知られており、本問はそれを具体的な関数で確認する構成となっている。
• (3)では、等比数列の和の公式を用いた後、問題文で与えられた関係式を代入し、極限が計算しやすい形に式変形することがポイントである。

答え

(1) $\frac{1}{2}$

(2) $\frac{1}{2}$

(3) $\frac{e-1}{2}$