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数学3 極限問題 57 解説

方針・初手

与えられた条件から、各三角形 $\triangle \text{OP}_{k-1}\text{P}_k$ がすべて互いに相似であることを見抜く。相似比から線分の長さ $a_k$ の一般項を求め、数列 $\{a_k\}$ が等比数列になることを導く。その後、$s_n$ を等比数列の和として計算し、極限の基本公式 $\lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n = e$ と $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ を利用して極限値を求める。

解法1

条件 (A) より、すべての $k \ (1 \leqq k \leqq n)$ について $\angle \text{P}_{k-1}\text{OP}_k = \frac{\pi}{n}$ であり、すべての $k \ (2 \leqq k \leqq n)$ について $\angle \text{OP}_{k-1}\text{P}_k = \angle \text{OP}_0\text{P}_1$ である。したがって、2つの角がそれぞれ等しいので、$n$ 個の三角形 $\triangle \text{OP}_{k-1}\text{P}_k \ (k=1, 2, \dots, n)$ はすべて互いに相似である。

ここで、隣り合う2つの三角形 $\triangle \text{OP}_{k-2}\text{P}_{k-1}$ と $\triangle \text{OP}_{k-1}\text{P}_k$ の相似比を考える。 $\triangle \text{OP}_0\text{P}_1 \sim \triangle \text{OP}_1\text{P}_2$ であるから、対応する辺の比は等しく、$\text{OP}_1 : \text{OP}_0 = \text{P}_1\text{P}_2 : \text{P}_0\text{P}_1$ となる。条件 (B) より $\text{OP}_0 = 1$、$\text{OP}_1 = 1+\frac{1}{n}$ であるため、この相似比は $1+\frac{1}{n}$ である。一般に、任意の $k \ (2 \leqq k \leqq n)$ において、辺の長さ $a_k = \text{P}_{k-1}\text{P}_k$ は、

$$a_k = \left(1+\frac{1}{n}\right) a_{k-1}$$

を満たす。よって、数列 $\{a_k\}$ は初項 $a_1$、公比 $1+\frac{1}{n}$ の等比数列である。これより、$s_n$ は次のように計算できる。

$$s_n = \sum_{k=1}^n a_k = \frac{a_1 \left\{ \left(1+\frac{1}{n}\right)^n - 1 \right\}}{\left(1+\frac{1}{n}\right) - 1} = n a_1 \left\{ \left(1+\frac{1}{n}\right)^n - 1 \right\}$$

次に、$a_1$ の値を求める。 $\triangle \text{OP}_0\text{P}_1$ において余弦定理を用いると、

$$\begin{aligned} a_1^2 &= \text{OP}_0^2 + \text{OP}_1^2 - 2 \text{OP}_0 \cdot \text{OP}_1 \cos \frac{\pi}{n} \\ &= 1^2 + \left(1+\frac{1}{n}\right)^2 - 2 \cdot 1 \cdot \left(1+\frac{1}{n}\right) \cos \frac{\pi}{n} \\ &= \left(1+\frac{1}{n}\right)^2 - 2\left(1+\frac{1}{n}\right) + 1 + 2\left(1+\frac{1}{n}\right) - 2\left(1+\frac{1}{n}\right)\cos \frac{\pi}{n} \\ &= \left( 1+\frac{1}{n} - 1 \right)^2 + 2\left(1+\frac{1}{n}\right) \left( 1 - \cos \frac{\pi}{n} \right) \end{aligned}$$

ここで、半角の公式 $1 - \cos \frac{\pi}{n} = 2 \sin^2 \frac{\pi}{2n}$ を用いると、

$$a_1^2 = \frac{1}{n^2} + 4\left(1+\frac{1}{n}\right) \sin^2 \frac{\pi}{2n}$$

となる。 $s_n$ の式に含まれる $n a_1$ の極限を求めるため、$(n a_1)^2$ を計算する。

$$\begin{aligned} (n a_1)^2 &= n^2 \left\{ \frac{1}{n^2} + 4\left(1+\frac{1}{n}\right) \sin^2 \frac{\pi}{2n} \right\} \\ &= 1 + 4\left(1+\frac{1}{n}\right) n^2 \sin^2 \frac{\pi}{2n} \\ &= 1 + 4\left(1+\frac{1}{n}\right) \left( \frac{\sin \frac{\pi}{2n}}{\frac{\pi}{2n}} \cdot \frac{\pi}{2} \right)^2 \end{aligned}$$

$n \to \infty$ のとき、$\frac{\pi}{2n} \to 0$ であるから、$\lim_{n \to \infty} \frac{\sin \frac{\pi}{2n}}{\frac{\pi}{2n}} = 1$ である。したがって、

$$\lim_{n \to \infty} (n a_1)^2 = 1 + 4(1+0) \left( 1 \cdot \frac{\pi}{2} \right)^2 = 1 + \pi^2$$

$n a_1 > 0$ であるから、

$$\lim_{n \to \infty} n a_1 = \sqrt{\pi^2+1}$$

となる。さらに、自然対数の底 $e$ の定義より、

$$\lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n = e$$

である。以上より、求める極限は、

$$\lim_{n \to \infty} s_n = \lim_{n \to \infty} n a_1 \left\{ \left(1+\frac{1}{n}\right)^n - 1 \right\} = \sqrt{\pi^2+1} (e - 1)$$

となる。

解説

図形の相似性と極限計算を組み合わせた標準的な問題である。各三角形が相似になることに気づけば、$s_n$ を等比数列の和として表すことができる。極限計算においては、$n a_1$ の部分を適切に変形し、$\frac{\sin x}{x} \to 1$ の形を作り出すことがポイントとなる。余弦定理から得られた式をそのまま計算するのではなく、$(A-B)^2$ の形や半角の公式を利用して、極限値が分かりやすい形へ持ち込む式変形の技術が問われている。