数学3 極限 問題 58 解説

方針・初手

三角関数の極限の基本公式 $\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1$ を利用できるように式を変形する。$\sin$ の中身の関数と同じものを分母に作り出すことがポイントである。

解法1

与えられた極限の式を次のように変形する。

$$\frac{\sin \left( \sin \frac{x}{\pi} \right)}{x} = \frac{\sin \left( \sin \frac{x}{\pi} \right)}{\sin \frac{x}{\pi}} \cdot \frac{\sin \frac{x}{\pi}}{x}$$

さらに、2つ目の分数の分母を $\sin$ の中身である $\frac{x}{\pi}$ に合わせるように変形する。

$$\frac{\sin \left( \sin \frac{x}{\pi} \right)}{x} = \frac{\sin \left( \sin \frac{x}{\pi} \right)}{\sin \frac{x}{\pi}} \cdot \frac{\sin \frac{x}{\pi}}{\frac{x}{\pi}} \cdot \frac{1}{\pi}$$

ここで、$x \to 0$ のとき、$\frac{x}{\pi} \to 0$ であり、これに伴い $\sin \frac{x}{\pi} \to 0$ となる。

したがって、三角関数の極限の公式より、以下の2つの極限が成り立つ。

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin \left( \sin \frac{x}{\pi} \right)}{\sin \frac{x}{\pi}} = 1$$

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin \frac{x}{\pi}}{\frac{x}{\pi}} = 1$$

ゆえに、求める極限値は次のように計算できる。

$$\begin{aligned} \lim_{x \to 0} \frac{\sin \left( \sin \frac{x}{\pi} \right)}{x} &= \lim_{x \to 0} \left\{ \frac{\sin \left( \sin \frac{x}{\pi} \right)}{\sin \frac{x}{\pi}} \cdot \frac{\sin \frac{x}{\pi}}{\frac{x}{\pi}} \cdot \frac{1}{\pi} \right\} \\ &= 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{\pi} \\ &= \frac{1}{\pi} \end{aligned}$$

解説

関数の極限において $\sin$ が含まれていて $x \to 0$ となる場合、第一に $\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1$ の利用を考えるのが定石である。本問は合成関数の極限となっているが、「$\sin$ の中身と同じ形を分母に作る」という基本操作を落ち着いて繰り返すことで解決する。

答え

$$\frac{1}{\pi}$$