数学3 極限 問題 59 解説

方針・初手

$x$ を固定したときの数列の極限として関数を求める。$f_n(x)$ の式に現れる $\tan x$ の累乗の極限が、公比となる $\tan x$ の値によって異なるため、場合分けを行う必要がある。具体的には、$0 \leqq x < \frac{\pi}{2}$ における $\tan x \geqq 0$ の範囲において、$0 \leqq \tan x < 1$、$\tan x = 1$、$\tan x > 1$ の $3$ つの場合に分けて極限を計算する。極限を求めた後、各区間における関数の振る舞いを調べ、グラフの概形を決定する。

解法1

極限関数を $f(x) = \lim_{n \to \infty} f_n(x)$ とする。

$0 \leqq x < \frac{\pi}{2}$ より $\tan x \geqq 0$ である。 $\tan x$ の値によって場合分けをして極限を求める。

(i) $0 \leqq \tan x < 1$、すなわち $0 \leqq x < \frac{\pi}{4}$ のとき

$\lim_{n \to \infty} \tan^n x = 0$ であるから、

$$ \lim_{n \to \infty} f_n(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{\tan^{2n+1} x - \tan^n x + 1}{\tan^{2n+2} x + \tan^{2n} x + 1} = \frac{0 - 0 + 1}{0 + 0 + 1} = 1 $$

(ii) $\tan x = 1$、すなわち $x = \frac{\pi}{4}$ のとき

$\tan^n x = 1$ であるから、

$$ \lim_{n \to \infty} f_n(x) = \frac{1^{2n+1} - 1^n + 1}{1^{2n+2} + 1^{2n} + 1} = \frac{1 - 1 + 1}{1 + 1 + 1} = \frac{1}{3} $$

(iii) $\tan x > 1$、すなわち $\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{2}$ のとき

分母の最高次の項である $\tan^{2n+2} x$ で分母・分子を割ると、

$$ f_n(x) = \frac{\frac{1}{\tan x} - \frac{1}{\tan^{n+2} x} + \frac{1}{\tan^{2n+2} x}}{1 + \frac{1}{\tan^2 x} + \frac{1}{\tan^{2n+2} x}} $$

となる。$\frac{1}{\tan x} < 1$ より $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\tan^n x} = 0$ であるから、

$$ \lim_{n \to \infty} f_n(x) = \frac{\frac{1}{\tan x} - 0 + 0}{1 + \frac{1}{\tan^2 x} + 0} = \frac{\frac{1}{\tan x}}{\frac{\tan^2 x + 1}{\tan^2 x}} = \frac{\tan x}{\tan^2 x + 1} $$

ここで、$\tan^2 x + 1 = \frac{1}{\cos^2 x}$ の関係を用いると、

$$ \frac{\tan x}{\tan^2 x + 1} = \frac{\frac{\sin x}{\cos x}}{\frac{1}{\cos^2 x}} = \sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x $$

以上より、極限関数 $f(x)$ は以下のようになる。

$$ f(x) = \begin{cases} 1 & \left(0 \leqq x < \frac{\pi}{4}\right) \\ \frac{1}{3} & \left(x = \frac{\pi}{4}\right) \\ \frac{1}{2} \sin 2x & \left(\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{2}\right) \end{cases} $$

次に、$y = f(x)$ のグラフの概形を考える。

$0 \leqq x < \frac{\pi}{4}$ の区間では、$y = 1$ の線分である。

$x = \frac{\pi}{4}$ のときは、点 $\left(\frac{\pi}{4}, \frac{1}{3}\right)$ である。

$\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{2}$ の区間では、$y = \frac{1}{2} \sin 2x$ となる。この区間において $x$ が単調に増加するとき、$2x$ は $\frac{\pi}{2} < 2x < \pi$ の範囲で増加するため、$\sin 2x$ は $1$ から $0$ へ単調に減少する。両端における極限は、$\lim_{x \to \frac{\pi}{4}+0} \frac{1}{2} \sin 2x = \frac{1}{2}$、$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}-0} \frac{1}{2} \sin 2x = 0$ である。

したがって、グラフは不連続な図形となる。

解説

等比数列の極限を含む関数の典型問題である。公比となる $\tan x$ の大きさによって場合分けを行うことが最大のポイントである。極限を求めた後の関数に三角関数の相互関係や $2$ 倍角の公式を用いて式を簡略化すると、グラフの振る舞いを把握しやすくなる。不連続点や区間の端点における値（白丸か黒丸か）を正確に把握してグラフの概形に反映させる必要がある。

答え

$\lim_{n \to \infty} f_n(x) = \begin{cases} 1 & \left(0 \leqq x < \frac{\pi}{4}\right) \\ \frac{1}{3} & \left(x = \frac{\pi}{4}\right) \\ \frac{1}{2} \sin 2x & \left(\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{2}\right) \end{cases}$

$y = f(x)$ のグラフの概形は以下の特徴を持つ図形である。

$0 \leqq x < \frac{\pi}{4}$ では、線分 $y = 1$ （左端の点 $(0, 1)$ を含み、右端の点 $\left(\frac{\pi}{4}, 1\right)$ を含まない）。

$x = \frac{\pi}{4}$ では、点 $\left(\frac{\pi}{4}, \frac{1}{3}\right)$ 。

$\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{2}$ では、曲線 $y = \frac{1}{2} \sin 2x$ （両端の点 $\left(\frac{\pi}{4}, \frac{1}{2}\right)$ と点 $\left(\frac{\pi}{2}, 0\right)$ を含まない単調減少な曲線）。