数学3 確率･極限 問題 2 解説

方針・初手

和の偶奇に関する問題は、前の項までの偶奇と新たに追加される項の偶奇に注目して漸化式を立てるのが定石である。$n-1$ 回目までの総和の偶奇と、$n$ 回目の積 $a_n b_n$ の偶奇で場合分けを行い、$p_n$ と $p_{n-1}$ の関係式を導く。

解法1

(1)

サイコロの目は $1$ から $6$ までであり、偶数の目は $2, 4, 6$ の $3$ 通り、奇数の目は $1, 3, 5$ の $3$ 通りである。1回の試行で出た目の積 $a_k b_k$ が奇数になるのは、$a_k, b_k$ がともに奇数の場合のみである。したがって、$a_k b_k$ が奇数となる確率は、

$$ \frac{3}{6} \times \frac{3}{6} = \frac{1}{4} $$

余事象を考えて、$a_k b_k$ が偶数となる確率は、

$$ 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} $$

である。

$n$ 回目までの積の和 $a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n$ が偶数になるという事象は、次の2つの互いに排反な事象の和事象である。

(i) $n-1$ 回目までの和が偶数であり、かつ $n$ 回目の積 $a_n b_n$ が偶数である。 この確率は、

$$ p_{n-1} \times \frac{3}{4} $$

(ii) $n-1$ 回目までの和が奇数であり、かつ $n$ 回目の積 $a_n b_n$ が奇数である。 この確率は、

$$ (1 - p_{n-1}) \times \frac{1}{4} $$

よって、$p_n$ はこれらの和で表されるから、

$$ \begin{aligned} p_n &= \frac{3}{4} p_{n-1} + \frac{1}{4} (1 - p_{n-1}) \\ &= \frac{1}{2} p_{n-1} + \frac{1}{4} \end{aligned} $$

(2)

(1)で求めた漸化式を変形すると、

$$ p_n - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \left( p_{n-1} - \frac{1}{2} \right) $$

となる。

ここで、初項 $p_1$ は $a_1 b_1$ が偶数となる確率であるから、$p_1 = \frac{3}{4}$ である。

数列 $\left\{ p_n - \frac{1}{2} \right\}$ は、初項が $p_1 - \frac{1}{2} = \frac{3}{4} - \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$、公比が $\frac{1}{2}$ の等比数列である。したがって、

$$ p_n - \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1} $$

$$ p_n = \frac{1}{2} + \left( \frac{1}{2} \right)^{n+1} $$

極限を求めると、$n \to \infty$ のとき $\left( \frac{1}{2} \right)^{n+1} \to 0$ であるから、

$$ \lim_{n \to \infty} p_n = \lim_{n \to \infty} \left\{ \frac{1}{2} + \left( \frac{1}{2} \right)^{n+1} \right\} = \frac{1}{2} $$

解説

確率の漸化式を立てて解く典型問題である。和の偶奇を問う問題では、$n$ 番目の状態と $n-1$ 番目の状態の遷移を正確に捉えることが重要となる。漸化式の立式自体は平易であり、極限も標準的な計算で求まるため、確実に完答したい。試行回数 $n$ が大きくなるにつれて、偶数になる確率と奇数になる確率がそれぞれ $\frac{1}{2}$ に収束していくという直感的な結果と一致することも確認できる。

答え

(1)

$$ p_n = \frac{1}{2} p_{n-1} + \frac{1}{4} $$

(2)

$$ p_n = \frac{1}{2} + \left( \frac{1}{2} \right)^{n+1} $$

$$ \lim_{n \to \infty} p_n = \frac{1}{2} $$