数学3 確率･極限 問題 11 解説

方針・初手

• 時刻 $n$ における石の位置は点A、点Bのいずれかであるため、時刻 $n$ で石が点Bにある確率は $1-p_n$ と表せる。
• 石の移動の規則 (A), (B) に従って、時刻 $n$ の状態から時刻 $n+1$ の状態への推移を考え、確率 $p_{n+1}$ を $p_n$ を用いた漸化式で導く。
• 得られた隣接2項間漸化式を解き、極限を計算する。

解法1

(1)

時刻 $t=0$ で石は点Aにある。 時刻 $t=1$ で石が点Aにあるのは、規則(A)よりそのまま点Aにとどまる場合であるから、

$$p_1 = c$$

時刻 $t=2$ で石が点Aにあるのは、以下の2つの排反な事象のいずれかが起こる場合である。

• 時刻 $t=1$ で点Aにあり、時刻 $t=2$ でも点Aにある場合
• 時刻 $t=1$ で点Bにあり、時刻 $t=2$ で点Aにある場合

時刻 $t=1$ で点Bにある確率は $1-p_1 = 1-c$ であるから、これらを足し合わせて、

$$\begin{aligned} p_2 &= p_1 \cdot c + (1-p_1) \cdot (1-2c) \\ &= c \cdot c + (1-c)(1-2c) \\ &= c^2 + 1 - 3c + 2c^2 \\ &= 3c^2 - 3c + 1 \end{aligned}$$

(2)

時刻 $t=n+1$ において石が点Aにあるのは、以下の2つの排反な事象のいずれかが起こる場合である。

• 時刻 $t=n$ で点Aにあり、時刻 $t=n+1$ に点Aに移動する場合
• 時刻 $t=n$ で点Bにあり、時刻 $t=n+1$ に点Aに移動する場合

時刻 $t=n$ において石が点Bにある確率は $1-p_n$ である。よって、規則(A), (B)より、

$$\begin{aligned} p_{n+1} &= p_n \cdot c + (1-p_n) \cdot (1-2c) \\ &= cp_n + 1 - 2c - p_n + 2cp_n \\ &= (3c-1)p_n - 2c + 1 \end{aligned}$$

(3)

(2)で求めた漸化式 $p_{n+1} = (3c-1)p_n - 2c + 1$ を変形する。 特性方程式 $\alpha = (3c-1)\alpha - 2c + 1$ を解くと、

$$\begin{aligned} (2-3c)\alpha &= 1-2c \end{aligned}$$

条件 $0 < c < \frac{1}{2}$ より $2-3c > \frac{1}{2} > 0$ であるため、両辺を $2-3c$ で割ることができ、

$$\alpha = \frac{1-2c}{2-3c}$$

となる。したがって、漸化式は次のように変形できる。

$$p_{n+1} - \frac{1-2c}{2-3c} = (3c-1) \left( p_n - \frac{1-2c}{2-3c} \right)$$

これにより、数列 $\left\{ p_n - \frac{1-2c}{2-3c} \right\}$ は公比 $3c-1$ の等比数列であることがわかる。 ここで、初項は、

$$\begin{aligned} p_1 - \frac{1-2c}{2-3c} &= c - \frac{1-2c}{2-3c} \\ &= \frac{c(2-3c) - (1-2c)}{2-3c} \\ &= \frac{-3c^2 + 4c - 1}{2-3c} \\ &= \frac{-(3c-1)(c-1)}{2-3c} \end{aligned}$$

であるから、一般項は、

$$\begin{aligned} p_n - \frac{1-2c}{2-3c} &= \frac{-(3c-1)(c-1)}{2-3c} \cdot (3c-1)^{n-1} \\ &= -\frac{c-1}{2-3c} (3c-1)^n \end{aligned}$$

ゆえに、$p_n$ は次のように求まる。

$$p_n = \frac{1-2c}{2-3c} - \frac{c-1}{2-3c} (3c-1)^n$$

(4)

条件 $0 < c < \frac{1}{2}$ より、

$$-1 < 3c - 1 < \frac{1}{2}$$

である。したがって $|3c - 1| < 1$ となるため、$n \to \infty$ のとき $(3c-1)^n \to 0$ となる。 よって、

$$\begin{aligned} \lim_{n \to \infty} p_n &= \lim_{n \to \infty} \left\{ \frac{1-2c}{2-3c} - \frac{c-1}{2-3c} (3c-1)^n \right\} \\ &= \frac{1-2c}{2-3c} \end{aligned}$$

解説

2つの状態（点Aと点B）を行き来する確率の典型的な漸化式の問題である。 状態が2つしかないため、「時刻 $t=n$ で点Bにある確率」をわざわざ新しい文字で置く必要はなく、$1-p_n$ と余事象を用いて表すことで、直ちに $p_n$ に関する隣接2項間漸化式を立てることができる。 (3) の漸化式を解く際、特性方程式の解の分母が $0$ にならないことの確認や、(4) で極限を求める際の公比の絶対値が $1$ 未満であることの確認など、与えられた $c$ の値の範囲を的確に用いることが重要である。

答え

(1)

$$p_1 = c, \quad p_2 = 3c^2 - 3c + 1$$

(2)

$$p_{n+1} = (3c-1)p_n - 2c + 1$$

(3)

$$p_n = \frac{1-2c}{2-3c} - \frac{c-1}{2-3c} (3c-1)^n$$

(4)

$$\lim_{n \to \infty} p_n = \frac{1-2c}{2-3c}$$