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数学3 確率･極限問題 13 解説

方針・初手

各プレイヤーが勝つ確率を求めるために、誰がどのタイミングで勝利するかを定式化する。ゲームが無限に続く可能性があるため、勝利する回数についての無限等比級数の和を計算して確率を求める。また、ゲームのルールが一定周期で繰り返される性質（自己相似性）に注目して方程式を立てる手法も有効である。

解法1

(1)

Aが勝つのは、1回目、3回目、5回目、$\cdots$ と奇数回目の試行で初めて成功する場合である。Aが勝つ確率を $P(A)$ とすると、$P(A)$ は初項 $p$、公比 $q^2$ の無限等比級数の和で表される。$0 < p < 1$ より $0 < q < 1$ であるから、この級数は収束し、次のように計算できる。

$$P(A) = p + q^2p + q^4p + \cdots = \frac{p}{1-q^2}$$

一方、Bが勝つのは、2回目、4回目、6回目、$\cdots$ と偶数回目の試行で初めて成功する場合である。Bが勝つ確率を $P(B)$ とすると、$P(B)$ は初項 $qp$、公比 $q^2$ の無限等比級数の和で表される。

$$P(B) = qp + q^3p + q^5p + \cdots = \frac{qp}{1-q^2}$$

$P(A)$ と $P(B)$ の差をとる。

$$P(A) - P(B) = \frac{p}{1-q^2} - \frac{qp}{1-q^2} = \frac{p(1-q)}{1-q^2}$$

ここで $1-q = p$ であるから、次のように変形できる。

$$P(A) - P(B) = \frac{p^2}{1-q^2}$$

$0 < p < 1$ かつ $0 < q < 1$ であるから、$p^2 > 0$ かつ $1-q^2 > 0$ となり、$P(A) - P(B) > 0$ すなわち $P(A) > P(B)$ が成り立つ。したがって、$p$ の値に関わらずゲームはAに有利である。

(2)

試行の順序が ABB、ABB、$\cdots$ と繰り返されるため、3回の試行（A、B、B）を1つのセットとして考える。

Aが勝つのは、あるセットの1回目の試行（Aの試行）で成功する場合である。各セットにおいてAが勝つ確率は $p$ であり、誰も勝たずに次のセットへ移行する確率は $q^3$ である。したがって、Aが勝つ確率 $P(A)$ は初項 $p$、公比 $q^3$ の無限等比級数の和となる。

$$P(A) = p + q^3p + q^6p + \cdots = \frac{p}{1-q^3}$$

Bが勝つのは、あるセットの2回目または3回目の試行（Bの試行）で成功する場合である。各セットにおいてBが勝つ確率は $qp + q^2p = q(1+q)p$ である。したがって、Bが勝つ確率 $P(B)$ は初項 $q(1+q)p$、公比 $q^3$ の無限等比級数の和となる。

$$P(B) = q(1+q)p + q^3 \cdot q(1+q)p + q^6 \cdot q(1+q)p + \cdots = \frac{q(1+q)p}{1-q^3}$$

ゲームが公平であるとき、$P(A) = P(B)$ が成り立つ。

$$\frac{p}{1-q^3} = \frac{q(1+q)p}{1-q^3}$$

$p \neq 0$ かつ $1-q^3 \neq 0$ であるから、両辺に $\frac{1-q^3}{p}$ を掛けて整理する。

$$1 = q(1+q)$$

$$q^2 + q - 1 = 0$$

これを解くと $q = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$ となる。$0 < q < 1$ であるから $q = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$ である。このとき $p = 1-q$ より、$p$ の値は次のように求まる。

$$p = 1 - \frac{\sqrt{5}-1}{2} = \frac{3-\sqrt{5}}{2}$$

(3)

示すべき等式の右辺は、初項 $q^2$、公比 $q^2$ の無限等比級数である。$0 < q < 1$ より $0 < q^2 < 1$ であるから、この級数は収束し、その和は次のように計算できる。

$$q^2 + q^4 + q^6 + \cdots = \frac{q^2}{1-q^2}$$

(2) の考察より、ゲームが公平であるとき $q^2 + q - 1 = 0$ が成り立つ。これを変形すると $1-q^2 = q$ となる。

この関係式を先ほど求めた和の式に代入する。

$$\frac{q^2}{1-q^2} = \frac{q^2}{q} = q$$

したがって、$q = q^2 + q^4 + q^6 + \cdots$ が成り立つことが示された。

解法2

(1) と (2) について、状態の推移に注目して確率を求める別解を示す。(3) は解法1と同様である。

(1)

Aが勝つ確率を $P(A)$、Bが勝つ確率を $P(B)$ とする。

1回目の試行でAが失敗した場合（確率 $q$）、次はBの試行となる。これ以降のゲームは「先攻のプレイヤーがBになった同じゲーム」と見なすことができる。したがって、1回目にAが失敗した後にBが勝つ確率は、先攻プレイヤーが勝つ確率 $P(A)$ と等しい。

以上より、Bが勝つ確率 $P(B)$ は次のように表される。

$$P(B) = q P(A)$$

ここで $0 < p < 1$ より $P(A) > 0$ であり、$0 < q < 1$ である。したがって、$q P(A) < P(A)$ となるため、$P(A) > P(B)$ が成り立つ。

(2)

Aが勝つ確率を $P(A)$、Bが勝つ確率を $P(B)$ とする。1セット（A、B、Bの試行）の中で決着がつかない場合（確率 $q^3$）、ゲームは初期状態に戻る。

Aが勝つのは、1回目の試行で成功する（確率 $p$）か、1セット目で決着がつかずにそれ以降でAが勝つ（確率 $q^3 P(A)$）場合である。

$$P(A) = p + q^3 P(A)$$

これを解いて $P(A)$ を求める。

$$P(A) = \frac{p}{1-q^3}$$

同様に、Bが勝つのは、2回目か3回目の試行で成功する（確率 $qp + q^2p$）か、1セット目で決着がつかずにそれ以降でBが勝つ（確率 $q^3 P(B)$）場合である。

$$P(B) = (qp + q^2p) + q^3 P(B)$$

これを解いて $P(B)$ を求める。

$$P(B) = \frac{q(1+q)p}{1-q^3}$$

以降は解法1と同様に $P(A) = P(B)$ を解いて $p$ を求める。

解説

無限に続くゲームにおける勝利確率を求める典型的な問題である。無限等比級数の和を直接計算するアプローチ（解法1）が最も自然で分かりやすいが、ゲームの自己相似性（状態がループすること）を利用して方程式を立てるアプローチ（解法2）を習得しておくと、複雑な遷移を持つゲームにおいても計算量を減らすことができる。

(3) の等式は、一見すると何を表しているか分かりにくいが、式変形を進めると「ゲームが公平になるための条件式」そのものに帰着する。このように、確率の条件式と無限級数の等式を結びつける論理展開が求められている。