数学3 確率･極限 問題 15 解説

方針・初手

1回の操作における確率推移を正しく把握することが第一歩である。「つぼの中に赤球が $k$ 個、白球が $3-k$ 個」ある状態から1回の操作を行った後、つぼの中の赤球の個数が $j$ 個となる確率は、反復試行の確率から求めることができる。この遷移確率をもとに、(1)で状態間の推移を表す漸化式を立てる。(2)は連立漸化式の和の形に注目し、(3)では連立漸化式を解いて階差数列から一般項を求める。極限は得られた式から容易に計算できる。

解法1

確率の推移の準備

$n$ 回目の操作後のつぼの中の赤球の個数が $k$ 個 $(k=0, 1, 2, 3)$ である状態から、次の操作を行う。 このとき、取り出した球が赤球である確率は $\frac{k}{3}$、白球である確率は $1 - \frac{k}{3}$ である。 これを3回繰り返したとき、赤球が $j$ 回 $(j=0, 1, 2, 3)$ 出る確率は、反復試行の確率より

$$ \binom{3}{j} \left(\frac{k}{3}\right)^j \left(1 - \frac{k}{3}\right)^{3-j} $$

となる。操作のルールにより、この確率がそのまま次の状態でつぼに赤球が $j$ 個入っている確率となる。

(1)

$n$ 回操作後につぼの中に赤球が 1, 2 個入っている確率はそれぞれ $p_n, q_n$ である。 また、赤球が0個のときは次の操作後も必ず赤球は0個であり、赤球が3個のときは次の操作後も必ず赤球は3個である。 よって、$n+1$ 回操作後に赤球が 1, 2 個となるのは、$n$ 回操作後に赤球が 1, 2 個であった状態からの推移のみを考えればよい。

$n$ 回操作後に赤球が1個のとき、次の操作で赤球が1個となる確率は

$$ \binom{3}{1} \left(\frac{1}{3}\right)^1 \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 3 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{9} = \frac{4}{9} $$

$n$ 回操作後に赤球が2個のとき、次の操作で赤球が1個となる確率は

$$ \binom{3}{1} \left(\frac{2}{3}\right)^1 \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 3 \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{9} = \frac{2}{9} $$

したがって、$p_{n+1}$ について次が成り立つ。

$$ p_{n+1} = \frac{4}{9} p_n + \frac{2}{9} q_n $$

同様に、$n$ 回操作後に赤球が1個のとき、次の操作で赤球が2個となる確率は

$$ \binom{3}{2} \left(\frac{1}{3}\right)^2 \left(\frac{2}{3}\right)^1 = 3 \cdot \frac{1}{9} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{9} $$

$n$ 回操作後に赤球が2個のとき、次の操作で赤球が2個となる確率は

$$ \binom{3}{2} \left(\frac{2}{3}\right)^2 \left(\frac{1}{3}\right)^1 = 3 \cdot \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{3} = \frac{4}{9} $$

したがって、$q_{n+1}$ について次が成り立つ。

$$ q_{n+1} = \frac{2}{9} p_n + \frac{4}{9} q_n $$

(2)

(1)で求めた漸化式の辺々を足し合わせると、

$$ p_{n+1} + q_{n+1} = \left(\frac{4}{9} + \frac{2}{9}\right) p_n + \left(\frac{2}{9} + \frac{4}{9}\right) q_n $$

$$ p_{n+1} + q_{n+1} = \frac{2}{3} (p_n + q_n) $$

よって、数列 $\{p_n + q_n\}$ は公比 $\frac{2}{3}$ の等比数列である。 初項 $p_1 + q_1$ を求める。初めにつぼの中には赤球が1個入っている状態から1回目の操作を行うので、

$$ p_1 = \frac{4}{9}, \quad q_1 = \frac{2}{9} $$

ゆえに、

$$ p_1 + q_1 = \frac{4}{9} + \frac{2}{9} = \frac{2}{3} $$

したがって、

$$ p_n + q_n = \left(\frac{2}{3}\right)^{n-1} \cdot \frac{2}{3} = \left(\frac{2}{3}\right)^n $$

(3)

$n+1$ 回操作後に赤球が3個となる確率 $r_{n+1}$ は、各状態からの推移を考えて漸化式を立てる。 $n$ 回操作後に赤球が0個のとき、次も赤球は0個なので、赤球が3個になる確率は0。 $n$ 回操作後に赤球が1個のとき、次の操作で赤球が3個となる確率は

$$ \binom{3}{3} \left(\frac{1}{3}\right)^3 = \frac{1}{27} $$

$n$ 回操作後に赤球が2個のとき、次の操作で赤球が3個となる確率は

$$ \binom{3}{3} \left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{8}{27} $$

$n$ 回操作後に赤球が3個のとき、次も赤球は必ず3個なので確率は1。 これらより、

$$ r_{n+1} = \frac{1}{27} p_n + \frac{8}{27} q_n + r_n $$

すなわち、

$$ r_{n+1} - r_n = \frac{1}{27} p_n + \frac{8}{27} q_n $$

が成り立つ。ここで $p_n$ と $q_n$ の一般項を求める。 (1)の漸化式の辺々を引くと、

$$ p_{n+1} - q_{n+1} = \frac{2}{9} (p_n - q_n) $$

数列 $\{p_n - q_n\}$ は初項 $p_1 - q_1 = \frac{4}{9} - \frac{2}{9} = \frac{2}{9}$、公比 $\frac{2}{9}$ の等比数列であるから、

$$ p_n - q_n = \left(\frac{2}{9}\right)^{n-1} \cdot \frac{2}{9} = \left(\frac{2}{9}\right)^n $$

(2)の結果と連立して、

$$ p_n = \frac{1}{2} \left\{ \left(\frac{2}{3}\right)^n + \left(\frac{2}{9}\right)^n \right\}, \quad q_n = \frac{1}{2} \left\{ \left(\frac{2}{3}\right)^n - \left(\frac{2}{9}\right)^n \right\} $$

これを $r_{n+1} - r_n$ に代入する。

$$ \begin{aligned} r_{n+1} - r_n &= \frac{1}{27} \cdot \frac{1}{2} \left\{ \left(\frac{2}{3}\right)^n + \left(\frac{2}{9}\right)^n \right\} + \frac{8}{27} \cdot \frac{1}{2} \left\{ \left(\frac{2}{3}\right)^n - \left(\frac{2}{9}\right)^n \right\} \\ &= \frac{1}{54} \left\{ 9\left(\frac{2}{3}\right)^n - 7\left(\frac{2}{9}\right)^n \right\} \\ &= \frac{1}{6} \left(\frac{2}{3}\right)^n - \frac{7}{54} \left(\frac{2}{9}\right)^n \end{aligned} $$

$n \geqq 2$ のとき、階差数列の性質より

$$ \begin{aligned} r_n &= r_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (r_{k+1} - r_k) \\ &= \frac{1}{27} + \sum_{k=1}^{n-1} \left\{ \frac{1}{6} \left(\frac{2}{3}\right)^k - \frac{7}{54} \left(\frac{2}{9}\right)^k \right\} \\ &= \frac{1}{27} + \frac{1}{6} \cdot \frac{\frac{2}{3} \left\{ 1 - \left(\frac{2}{3}\right)^{n-1} \right\}}{1 - \frac{2}{3}} - \frac{7}{54} \cdot \frac{\frac{2}{9} \left\{ 1 - \left(\frac{2}{9}\right)^{n-1} \right\}}{1 - \frac{2}{9}} \\ &= \frac{1}{27} + \frac{1}{3} \left\{ 1 - \left(\frac{2}{3}\right)^{n-1} \right\} - \frac{1}{27} \left\{ 1 - \left(\frac{2}{9}\right)^{n-1} \right\} \\ &= \frac{1}{27} + \frac{1}{3} - \frac{1}{2} \left(\frac{2}{3}\right)^n - \frac{1}{27} + \frac{1}{6} \left(\frac{2}{9}\right)^n \\ &= \frac{1}{3} - \frac{1}{2} \left(\frac{2}{3}\right)^n + \frac{1}{6} \left(\frac{2}{9}\right)^n \end{aligned} $$

この式は $n=1$ のときも $r_1 = \frac{1}{3} - \frac{1}{3} + \frac{1}{27} = \frac{1}{27}$ となり成り立つ。

最後に極限を求める。 $n \to \infty$ のとき $\left(\frac{2}{3}\right)^n \to 0$, $\left(\frac{2}{9}\right)^n \to 0$ であるから、

$$ \lim_{n \to \infty} r_n = \frac{1}{3} $$

解説

マルコフ連鎖（確率推移）を題材とした漸化式の問題である。まずは「球を取り出して戻す」という1回の操作が反復試行であることを見抜くのがポイントである。(1)で連立漸化式を正しく立てられれば、(2)と(3)は誘導に乗ることで標準的な計算で解き進めることができる。極限値の $\frac{1}{3}$ は、初期状態の赤球の個数の期待値が $1$ であり、操作を繰り返しても期待値が保存される（マルチンゲール性）という背景知識があれば、最終的に赤球3個の確率が $\frac{1}{3}$、赤球0個の確率が $\frac{2}{3}$ に収束することが予測でき、見直しの手段となる。

答え

(1) $p_{n+1} = \frac{4}{9}p_n + \frac{2}{9}q_n$, $q_{n+1} = \frac{2}{9}p_n + \frac{4}{9}q_n$

(2) $p_n + q_n = \left(\frac{2}{3}\right)^n$

(3) $r_n = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} \left(\frac{2}{3}\right)^n + \frac{1}{6} \left(\frac{2}{9}\right)^n$, $\lim_{n \to \infty} r_n = \frac{1}{3}$