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数学3 確率･極限問題 18 解説

方針・初手

積が特定の数で割り切れる確率を求めるため、余事象を利用する。

$X_n$ が6で割り切れる確率は、「2の倍数である」事象と「3の倍数である」事象の積事象として捉え、ド・モルガンの法則を用いて余事象の和事象の確率を計算することで求める。

極限の計算では、等比数列の和の形になっている $1-p_n$ の式において、底の絶対値が最大の項をくくり出して評価する。

解法1

$X_n$ が3で割り切れない事象は、$n$ 回すべてにおいて3の倍数以外の目が出ることである。さいころの目のうち、3の倍数でないのは $1, 2, 4, 5$ の4通りであるから、その確率は

$$\left(\frac{4}{6}\right)^n = \left(\frac{2}{3}\right)^n$$

である。したがって、$X_n$ が3で割り切れる確率は余事象を考えて

$$1-\left(\frac{2}{3}\right)^n$$

となる。

同様に、$X_n$ が2で割り切れない事象は、$n$ 回すべてにおいて奇数の目が出ることである。さいころの目のうち、奇数は $1, 3, 5$ の3通りであるから、その確率は

$$\left(\frac{3}{6}\right)^n = \left(\frac{1}{2}\right)^n$$

である。したがって、$X_n$ が2で割り切れる確率は余事象を考えて

$$1-\left(\frac{1}{2}\right)^n$$

となる。

次に、$X_n$ が6で割り切れる確率 $p_n$ を求める。事象 $A$ を「$X_n$ が2で割り切れる」、事象 $B$ を「$X_n$ が3で割り切れる」とすると、求める確率は $P(A \cap B)$ である。余事象の確率を考えると、

$$P(A \cap B) = 1 - P(\overline{A \cap B}) = 1 - P(\overline{A} \cup \overline{B})$$

となる。ここで、$P(\overline{A} \cup \overline{B})$ は次のように計算できる。

$$P(\overline{A} \cup \overline{B}) = P(\overline{A}) + P(\overline{B}) - P(\overline{A} \cap \overline{B})$$

$\overline{A} \cap \overline{B}$ は「$n$ 回すべてで奇数かつ3の倍数でない目が出る」事象である。該当する目は $1, 5$ の2通りであるから、その確率は

$$P(\overline{A} \cap \overline{B}) = \left(\frac{2}{6}\right)^n = \left(\frac{1}{3}\right)^n$$

である。これと $P(\overline{A})=\left(\frac{1}{2}\right)^n$、$P(\overline{B})=\left(\frac{2}{3}\right)^n$ より、

$$P(\overline{A} \cup \overline{B}) = \left(\frac{1}{2}\right)^n + \left(\frac{2}{3}\right)^n - \left(\frac{1}{3}\right)^n$$

したがって、

$$1 - p_n = P(\overline{A} \cup \overline{B}) = \left(\frac{1}{2}\right)^n + \left(\frac{2}{3}\right)^n - \left(\frac{1}{3}\right)^n$$

である。

求める極限値は、

$$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \log(1-p_n) = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \log \left\{ \left(\frac{1}{2}\right)^n + \left(\frac{2}{3}\right)^n - \left(\frac{1}{3}\right)^n \right\}$$

括弧内において底の絶対値が最大の項である $\left(\frac{2}{3}\right)^n$ でくくり出すと、

$$\begin{aligned} 1-p_n &= \left(\frac{2}{3}\right)^n \left\{ \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}\right)^n + 1 - \left(\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2}\right)^n \right\} \\ &= \left(\frac{2}{3}\right)^n \left\{ 1 + \left(\frac{3}{4}\right)^n - \left(\frac{1}{2}\right)^n \right\} \end{aligned}$$

となる。対数の性質より、

$$\begin{aligned} \frac{1}{n} \log(1-p_n) &= \frac{1}{n} \left[ \log\left(\frac{2}{3}\right)^n + \log \left\{ 1 + \left(\frac{3}{4}\right)^n - \left(\frac{1}{2}\right)^n \right\} \right] \\ &= \log\left(\frac{2}{3}\right) + \frac{1}{n} \log \left\{ 1 + \left(\frac{3}{4}\right)^n - \left(\frac{1}{2}\right)^n \right\} \end{aligned}$$

ここで、$n \to \infty$ のとき $\left(\frac{3}{4}\right)^n \to 0$、$\left(\frac{1}{2}\right)^n \to 0$ であり、$\frac{1}{n} \to 0$ であるから、

$$\frac{1}{n} \log \left\{ 1 + \left(\frac{3}{4}\right)^n - \left(\frac{1}{2}\right)^n \right\} \to 0 \times \log 1 = 0$$

となる。したがって、

$$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \log(1-p_n) = \log\left(\frac{2}{3}\right)$$

である。