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数学3 確率･極限問題 19 解説

方針・初手

(1) は「等差数列×等比数列」の形をした数列の和を求める典型問題である。公比 $r$ をかけて辺々を引くことで、等比数列の和に帰着させる。 (2) は反復試行の確率の基本問題である。AとBが1回ずつ矢を射る試行を1セットと考え、そのセットにおいて「2人とも命中しない確率」を求めることがポイントとなる。 (3) は(2)で求めた $p_n$ を代入し、無限級数の和を求める。(1)の結果である $\sum_{n=1}^{\infty} nr^{n-1}$ の形を利用できるように、シグマの中身を展開して式変形を行うのが自然な流れである。

解法1

(1)

与えられた数列の和 $S_n$ は以下の通りである。

$$S_n = 1 + 2r + 3r^2 + \cdots + nr^{n-1}$$

両辺に $r$ をかけると、

$$rS_n = r + 2r^2 + \cdots + (n-1)r^{n-1} + nr^n$$

辺々を引くと、

$$(1-r)S_n = 1 + r + r^2 + \cdots + r^{n-1} - nr^n$$

$|r| < 1$ より $r \neq 1$ であるから、右辺の等比数列の和を計算して両辺を $1-r$ で割ると、

$$S_n = \frac{1}{1-r} \left( \frac{1-r^n}{1-r} \right) - \frac{nr^n}{1-r} = \frac{1-r^n}{(1-r)^2} - \frac{nr^n}{1-r}$$

$n \to \infty$ のとき、$|r| < 1$ であるから $\lim_{n \to \infty} r^n = 0$ であり、問題文の条件より $\lim_{n \to \infty} nr^n = 0$ である。よって、

$$S = \lim_{n \to \infty} S_n = \frac{1}{(1-r)^2}$$

(2)

[1] 1回目の試行でAが命中する確率 $p_1$ は、

$$p_1 = \frac{4}{5}$$

1回目の試行でAが命中せず、Bが命中する確率 $q_1$ は、

$$q_1 = \left( 1 - \frac{4}{5} \right) \times \frac{1}{2} = \frac{1}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{10}$$

したがって、

$$p_1 + q_1 = \frac{4}{5} + \frac{1}{10} = \frac{9}{10}$$

[2] 1回につき、AもBも命中しない確率は、

$$\left( 1 - \frac{4}{5} \right) \times \left( 1 - \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{10}$$

$n \geqq 2$ のとき、$p_n$ は「1回目から $n-1$ 回目までAもBも命中せず、かつ $n$ 回目にAが命中する」確率である。各回の試行は独立であるから、

$$p_n = \left( \frac{1}{10} \right)^{n-1} \times \frac{4}{5} = \frac{4}{5} \left( \frac{1}{10} \right)^{n-1}$$

[3] $n \geqq 2$ のとき、$q_n$ は「1回目から $n-1$ 回目までAもBも命中せず、かつ $n$ 回目にAが命中せずにBが命中する」確率である。$n$ 回目にAが命中せずにBが命中する確率は $q_1 = \frac{1}{10}$ であるから、

$$q_n = \left( \frac{1}{10} \right)^{n-1} \times \frac{1}{10} = \left( \frac{1}{10} \right)^n$$

(3)

(2)[2] で求めた $p_n$ は $n=1$ のときも $p_1 = \frac{4}{5} \left(\frac{1}{10}\right)^0 = \frac{4}{5}$ となり成立する。したがって、

$$E = \sum_{n=1}^{\infty} (2n-1)p_n = \sum_{n=1}^{\infty} (2n-1) \frac{4}{5} \left( \frac{1}{10} \right)^{n-1} = \frac{4}{5} \sum_{n=1}^{\infty} (2n-1) \left( \frac{1}{10} \right)^{n-1}$$

ここで、(1)の結果から、数列の和の極限は無限級数の和として表せる。すなわち、$|r| < 1$ のとき、

$$\sum_{n=1}^{\infty} nr^{n-1} = \frac{1}{(1-r)^2}$$

また、初項 $1$、公比 $r$ の無限等比級数の和は、$|r| < 1$ のとき、

$$\sum_{n=1}^{\infty} r^{n-1} = \frac{1}{1-r}$$

これらを用いると、和の公式を次のように変形できる。

$$\sum_{n=1}^{\infty} (2n-1)r^{n-1} = 2 \sum_{n=1}^{\infty} nr^{n-1} - \sum_{n=1}^{\infty} r^{n-1} = \frac{2}{(1-r)^2} - \frac{1}{1-r} = \frac{2 - (1-r)}{(1-r)^2} = \frac{r+1}{(1-r)^2}$$

$r = \frac{1}{10}$ は $|r| < 1$ を満たすので、上の式に代入して計算すると、

$$\sum_{n=1}^{\infty} (2n-1) \left( \frac{1}{10} \right)^{n-1} = \frac{\frac{1}{10} + 1}{\left( 1 - \frac{1}{10} \right)^2} = \frac{\frac{11}{10}}{\left( \frac{9}{10} \right)^2} = \frac{\frac{11}{10}}{\frac{81}{100}} = \frac{110}{81}$$

よって、求める値 $E$ は、

$$E = \frac{4}{5} \times \frac{110}{81} = \frac{88}{81}$$

解法2

(3)の別解

(1)の誘導を用いず、直接部分和を計算してから極限をとる方法を示す。部分和を $E_N = \sum_{n=1}^N (2n-1)p_n$ とおく。$p_n = \frac{4}{5} \left( \frac{1}{10} \right)^{n-1}$ であるから、

$$E_N = \frac{4}{5} \sum_{n=1}^N (2n-1) \left( \frac{1}{10} \right)^{n-1}$$

$T_N = \sum_{n=1}^N (2n-1) \left( \frac{1}{10} \right)^{n-1}$ とおくと、

$$T_N = 1 + 3 \left( \frac{1}{10} \right) + 5 \left( \frac{1}{10} \right)^2 + \cdots + (2N-1) \left( \frac{1}{10} \right)^{N-1}$$

両辺に $\frac{1}{10}$ をかけると、

$$\frac{1}{10} T_N = \left( \frac{1}{10} \right) + 3 \left( \frac{1}{10} \right)^2 + \cdots + (2N-3) \left( \frac{1}{10} \right)^{N-1} + (2N-1) \left( \frac{1}{10} \right)^N$$

辺々引くと、

$$\frac{9}{10} T_N = 1 + 2 \left( \frac{1}{10} \right) + 2 \left( \frac{1}{10} \right)^2 + \cdots + 2 \left( \frac{1}{10} \right)^{N-1} - (2N-1) \left( \frac{1}{10} \right)^N$$

等比数列の和の公式を用いて整理すると、

$$\frac{9}{10} T_N = 1 + \frac{2 \cdot \frac{1}{10} \left( 1 - \left( \frac{1}{10} \right)^{N-1} \right)}{1 - \frac{1}{10}} - (2N-1) \left( \frac{1}{10} \right)^N = 1 + \frac{2}{9} \left( 1 - \left( \frac{1}{10} \right)^{N-1} \right) - (2N-1) \left( \frac{1}{10} \right)^N$$

$N \to \infty$ のとき、$\left( \frac{1}{10} \right)^{N-1} \to 0, \ (2N-1) \left( \frac{1}{10} \right)^N \to 0$ であるから、

$$\lim_{N \to \infty} \frac{9}{10} T_N = 1 + \frac{2}{9} = \frac{11}{9}$$

$$\lim_{N \to \infty} T_N = \frac{11}{9} \times \frac{10}{9} = \frac{110}{81}$$

したがって、

$$E = \lim_{N \to \infty} E_N = \frac{4}{5} \lim_{N \to \infty} T_N = \frac{4}{5} \times \frac{110}{81} = \frac{88}{81}$$

解説

(1)の「等差×等比」の数列の和は、公比をかけてずらして引くという定石中の定石である。ここで求めた結果を(3)でどのように活用するかが本問の主題といえる。 (2)の反復試行については、誰がどのタイミングで命中させるか（あるいはさせないか）を正確に読み取り、確率をかけ合わせていけば容易に立式できる。 (3)では、$\sum (2n-1)r^{n-1}$ の形が現れるため、これを $2\sum nr^{n-1} - \sum r^{n-1}$ に分解して(1)の結果と等比級数の和の公式を適用するのが最もスマートである。解法2のように直接計算することも可能であり、本番で(1)の形への帰着が思いつかない場合でも、自力で部分和を出して極限をとる手段は持っておきたい。