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数学3 確率･極限問題 21 解説

方針・初手

$n$ 回の試行による数の和が4の倍数である確率 $p_n$ を求める問題である。和を4で割った余りに着目して状態を分類する。1から7までの数を4で割った余りで分類し、各余りが出る確率を求めることから始める。(2)では、和を4で割った余りが $0, 1, 2, 3$ になる状態遷移を考え、漸化式を立てる。

解法1

1回の試行において取り出される数を4で割った余りで分類すると、次のようになる。

余り0となるのは $4$ の $1$ 個で、その確率は $\frac{1}{7}$
余り1となるのは $1, 5$ の $2$ 個で、その確率は $\frac{2}{7}$
余り2となるのは $2, 6$ の $2$ 個で、その確率は $\frac{2}{7}$
余り3となるのは $3, 7$ の $2$ 個で、その確率は $\frac{2}{7}$

(1)

1回の試行で出た数が4の倍数となるのは、余り0の数が出たときであるから、

$$p_1 = \frac{1}{7}$$

である。

$n$ 回の試行で得られる数の和を $S_n$ とする。$S_2$ が4の倍数、すなわち $S_2 \equiv 0 \pmod 4$ となるのは、1回目と2回目の数を4で割った余りの組が $(0,0), (1,3), (2,2), (3,1)$ のいずれかとなるときである。これらの事象は互いに排反であるから、

$$\begin{aligned} p_2 &= \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{7} + \frac{2}{7} \cdot \frac{2}{7} + \frac{2}{7} \cdot \frac{2}{7} + \frac{2}{7} \cdot \frac{2}{7} \\ &= \frac{1}{49} + \frac{4}{49} + \frac{4}{49} + \frac{4}{49} \\ &= \frac{13}{49} \end{aligned}$$

である。

(2)

$S_n$ を4で割った余りが $1, 2, 3$ となる確率をそれぞれ $q_n, r_n, s_n$ とする。確率の総和は $1$ であるから、

$$p_n + q_n + r_n + s_n = 1$$

が成り立つ。

$n+1$ 回目の試行で $S_{n+1} \equiv 0 \pmod 4$ となるのは、次の4つの場合である。

$S_n \equiv 0 \pmod 4$ であり、$n+1$ 回目に余り0の数が出る。
$S_n \equiv 1 \pmod 4$ であり、$n+1$ 回目に余り3の数が出る。
$S_n \equiv 2 \pmod 4$ であり、$n+1$ 回目に余り2の数が出る。
$S_n \equiv 3 \pmod 4$ であり、$n+1$ 回目に余り1の数が出る。

これらの事象は互いに排反であるから、

$$\begin{aligned} p_{n+1} &= \frac{1}{7}p_n + \frac{2}{7}q_n + \frac{2}{7}r_n + \frac{2}{7}s_n \\ &= \frac{1}{7}p_n + \frac{2}{7}(q_n + r_n + s_n) \end{aligned}$$

となる。ここで、$q_n + r_n + s_n = 1 - p_n$ を代入して、

$$\begin{aligned} p_{n+1} &= \frac{1}{7}p_n + \frac{2}{7}(1 - p_n) \\ &= -\frac{1}{7}p_n + \frac{2}{7} \end{aligned}$$

を得る。

(3)

(2) で求めた漸化式は、特性方程式 $\alpha = -\frac{1}{7}\alpha + \frac{2}{7}$ を解くと $\alpha = \frac{1}{4}$ となるから、次のように変形できる。

$$p_{n+1} - \frac{1}{4} = -\frac{1}{7} \left( p_n - \frac{1}{4} \right)$$

数列 $\left\{ p_n - \frac{1}{4} \right\}$ は、初項 $p_1 - \frac{1}{4} = \frac{1}{7} - \frac{1}{4} = -\frac{3}{28}$、公比 $-\frac{1}{7}$ の等比数列である。したがって、

$$\begin{aligned} p_n - \frac{1}{4} &= -\frac{3}{28} \left( -\frac{1}{7} \right)^{n-1} \\ &= \frac{3}{4} \left( -\frac{1}{7} \right)^n \end{aligned}$$

これを整理して、

$$p_n = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} \left( -\frac{1}{7} \right)^n$$

となる。

また、$n \to \infty$ のとき $\left( -\frac{1}{7} \right)^n \to 0$ であるから、極限値は

$$\lim_{n\to\infty} p_n = \frac{1}{4}$$

である。

解説

「和が $m$ の倍数」となる確率を求める問題では、出た数を $m$ で割った余りで分類して状態遷移を考えるのが定石である。本問では1回の試行において $4$ で割った余りが $1, 2, 3$ となる確率がすべて等しい（$\frac{2}{7}$）という性質がある。このため、余りが $1, 2, 3$ の状態をそれぞれ区別した連立漸化式を立てる必要がなく、$p_n$ とそれ以外の事象（余事象）の2つにまとめるだけで容易に $p_{n+1}$ の漸化式が導ける。極限値が $\frac{1}{4}$ となるのは、試行を繰り返すことで余りが均等に分布していくという直感とも一致する。