数学3 はさみうち 問題 7 解説

方針・初手

(1) 与えられた不等式の各辺の差をとって関数とおき、微分を用いて増減を調べ、最小値が $0$ 以上であることを示す。

(2) 求める極限は多数の因数の積の形をしているため、自然対数をとって和の形に直す。その後、(1) で証明した不等式を利用して各項を評価し、はさみうちの原理を適用する。

解法1

(1) $f(x) = \log(1-x) - (-x^2 - x)$ とおく。 $f(x) = \log(1-x) + x^2 + x$ であり、これを微分すると

$$\begin{aligned} f'(x) &= \frac{-1}{1-x} + 2x + 1 \\ &= \frac{-1 + (2x+1)(1-x)}{1-x} \\ &= \frac{-1 + 2x - 2x^2 + 1 - x}{1-x} \\ &= \frac{x(1-2x)}{1-x} \end{aligned}$$

$0 \leqq x \leqq \frac{1}{2}$ において、$x \geqq 0$, $1-2x \geqq 0$, $1-x > 0$ であるから、$f'(x) \geqq 0$ となる。

したがって、$f(x)$ はこの区間で単調に増加する。

$f(0) = \log 1 + 0 = 0$ であるから、区間 $0 \leqq x \leqq \frac{1}{2}$ において $f(x) \geqq 0$ が成り立つ。

よって、$-x^2 - x \leqq \log(1-x)$ が成り立つ。

次に、$g(x) = -x - \log(1-x)$ とおく。 これを微分すると

$$g'(x) = -1 - \frac{-1}{1-x} = \frac{-(1-x) + 1}{1-x} = \frac{x}{1-x}$$

$0 \leqq x \leqq \frac{1}{2}$ において、$x \geqq 0$, $1-x > 0$ であるから、$g'(x) \geqq 0$ となる。

したがって、$g(x)$ はこの区間で単調に増加する。

$g(0) = 0 - \log 1 = 0$ であるから、区間 $0 \leqq x \leqq \frac{1}{2}$ において $g(x) \geqq 0$ が成り立つ。

よって、$\log(1-x) \leqq -x$ が成り立つ。

以上より、$0 \leqq x \leqq \frac{1}{2}$ のとき、$-x^2 - x \leqq \log(1-x) \leqq -x$ が成り立つ。

(2) 与えられた数列 $a_n$ に対して自然対数をとると

$$\log a_n = \sum_{k=1}^n \log\left( 1 - \frac{k}{2n^2} \right)$$

$n \geqq 1$ とし、$1 \leqq k \leqq n$ を満たす自然数 $k$ に対して、$x = \frac{k}{2n^2}$ とおくと

$$0 < \frac{k}{2n^2} \leqq \frac{n}{2n^2} = \frac{1}{2n} \leqq \frac{1}{2}$$

となるため、(1) で証明した不等式が適用できる。 $x = \frac{k}{2n^2}$ を代入すると

$$-\left( \frac{k}{2n^2} \right)^2 - \frac{k}{2n^2} \leqq \log\left( 1 - \frac{k}{2n^2} \right) \leqq -\frac{k}{2n^2}$$

辺々を $k=1$ から $n$ まで足し合わせると

$$\sum_{k=1}^n \left( - \frac{k^2}{4n^4} - \frac{k}{2n^2} \right) \leqq \sum_{k=1}^n \log\left( 1 - \frac{k}{2n^2} \right) \leqq \sum_{k=1}^n \left( -\frac{k}{2n^2} \right)$$

すなわち

$$-\frac{1}{4n^4} \sum_{k=1}^n k^2 - \frac{1}{2n^2} \sum_{k=1}^n k \leqq \log a_n \leqq -\frac{1}{2n^2} \sum_{k=1}^n k$$

ここで、各辺の極限を考える。 右辺について

$$\begin{aligned} -\frac{1}{2n^2} \sum_{k=1}^n k &= -\frac{1}{2n^2} \cdot \frac{1}{2}n(n+1) \\ &= -\frac{1}{4} \left( 1 + \frac{1}{n} \right) \end{aligned}$$

であり、$n \to \infty$ のとき $-\frac{1}{4}$ に収束する。

左辺について

$$\begin{aligned} -\frac{1}{4n^4} \sum_{k=1}^n k^2 - \frac{1}{2n^2} \sum_{k=1}^n k &= -\frac{1}{4n^4} \cdot \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) - \frac{1}{4} \left( 1 + \frac{1}{n} \right) \\ &= -\frac{1}{24n} \left( 1 + \frac{1}{n} \right) \left( 2 + \frac{1}{n} \right) - \frac{1}{4} \left( 1 + \frac{1}{n} \right) \end{aligned}$$

であり、$n \to \infty$ のとき $0 - \frac{1}{4} = -\frac{1}{4}$ に収束する。

したがって、はさみうちの原理より

$$\lim_{n \to \infty} \log a_n = -\frac{1}{4}$$

対数関数 $y = \log x$ は連続であるから

$$\lim_{n \to \infty} a_n = e^{-\frac{1}{4}}$$

解説

(1) は基本的な微分による不等式の証明問題である。片側ずつ差をとって $0$ 以上になることを示すのが定石である。

(2) は「積の極限は対数をとって和の極限にする」という重要な発想を用いる。対数をとった後の式が (1) の不等式の真ん中の形と一致することから、誘導に乗ってはさみうちの原理を適用する。シグマの計算においては、和の公式を正しく用いて極限を求めればよい。

答え

(1) 略証 (解法1参照)

(2) $e^{-\frac{1}{4}}$