数学3 接線・極限との複合 問題 4 解説

方針・初手

(1) は不等式の証明である。$x>0$ において両辺に正の数 $x$ を掛けることで、示すべき不等式は $\log(x+1) < \sqrt{x}$ と同値になる。したがって、$f(x) = \sqrt{x} - \log(x+1)$ とおき、$x>0$ において $f(x) > 0$ であることを微分を用いて示せばよい。

(2) は曲線と $x$ 軸で囲まれた面積の計算と、その極限である。まずは $y=0$ となる交点の $x$ 座標を求め、定積分により面積 $S(a)$ を計算する。極限計算においては、指数に $a$ が含まれるため対数をとって考える。(1) の不等式がはさみうちの原理を利用するための誘導となっていることに着目する。

解法1

(1) $x>0$ のとき、示すべき不等式の両辺に $x$ を掛けると

$$\log(x+1) < \sqrt{x}$$

となる。したがって、$f(x) = \sqrt{x} - \log(x+1)$ とおき、$x>0$ において $f(x) > 0$ であることを示す。

$f(x)$ を $x$ で微分すると

$$\begin{aligned} f'(x) &= \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{x+1} \\ &= \frac{x+1 - 2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}(x+1)} \\ &= \frac{(\sqrt{x}-1)^2}{2\sqrt{x}(x+1)} \end{aligned}$$

となる。$x>0$ において分母 $2\sqrt{x}(x+1) > 0$ であり、分子 $(\sqrt{x}-1)^2 \geqq 0$ であるから、$f'(x) \geqq 0$ が成り立つ（等号成立は $x=1$ のときのみ）。

したがって、$f(x)$ は $x \geqq 0$ において単調に増加する。

ゆえに、$x>0$ のとき

$$f(x) > f(0) = 0 - \log 1 = 0$$

が成り立つ。これより、$x>0$ において $\log(x+1) < \sqrt{x}$ が示された。

$x>0$ であるから、両辺を $x$ で割ることにより

$$\frac{\log(x+1)}{x} < \frac{1}{\sqrt{x}}$$

が成り立つことが示された。

(2) 曲線 $y = x - \frac{1}{a+1}x^{a+1} \ (x>0)$ と $x$ 軸の交点の $x$ 座標を求める。$y=0$ とすると

$$x - \frac{1}{a+1}x^{a+1} = 0$$

$$x \left( 1 - \frac{x^a}{a+1} \right) = 0$$

$x>0$ より $1 - \frac{x^a}{a+1} = 0$ となり

$$x^a = a+1$$

したがって、$x = (a+1)^{\frac{1}{a}}$ である。交点の $x$ 座標を $\alpha = (a+1)^{\frac{1}{a}}$ とおく。

$0 < x < \alpha$ の範囲では、$x^a < a+1$ より $\frac{x^a}{a+1} < 1$ であるから、$x \left( 1 - \frac{x^a}{a+1} \right) > 0$、すなわち $y > 0$ である。

したがって、面積 $S(a)$ は次のように計算できる。

$$\begin{aligned} S(a) &= \int_0^\alpha \left( x - \frac{1}{a+1}x^{a+1} \right) dx \\ &= \left[ \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{(a+1)(a+2)}x^{a+2} \right]_0^\alpha \\ &= \frac{1}{2}\alpha^2 - \frac{1}{(a+1)(a+2)}\alpha^{a+2} \end{aligned}$$

ここで、$\alpha^a = a+1$ であるから、$\alpha^{a+2} = \alpha^a \cdot \alpha^2 = (a+1)\alpha^2$ となる。これを代入して計算を進める。

$$\begin{aligned} S(a) &= \frac{1}{2}\alpha^2 - \frac{1}{(a+1)(a+2)}(a+1)\alpha^2 \\ &= \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{a+2} \right) \alpha^2 \\ &= \frac{a}{2(a+2)} (a+1)^{\frac{2}{a}} \end{aligned}$$

次に、$\lim_{a\to\infty} S(a)$ を求める。

まず $\lim_{a\to\infty} \frac{a}{2(a+2)} = \lim_{a\to\infty} \frac{1}{2(1+\frac{2}{a})} = \frac{1}{2}$ である。

次に $\lim_{a\to\infty} (a+1)^{\frac{2}{a}}$ について考える。対数をとって極限を調べる。

$$\lim_{a\to\infty} \log (a+1)^{\frac{2}{a}} = \lim_{a\to\infty} \frac{2\log(a+1)}{a}$$

(1) の結果より、$x>0$ において $0 < \frac{\log(x+1)}{x} < \frac{1}{\sqrt{x}}$ が成り立つ。 $a>0$ であるから、$x=a$ とすると

$$0 < \frac{\log(a+1)}{a} < \frac{1}{\sqrt{a}}$$

$a \to \infty$ のとき $\frac{1}{\sqrt{a}} \to 0$ であるから、はさみうちの原理より

$$\lim_{a\to\infty} \frac{\log(a+1)}{a} = 0$$

したがって

$$\lim_{a\to\infty} \log (a+1)^{\frac{2}{a}} = 2 \times 0 = 0$$

となるため、$\lim_{a\to\infty} (a+1)^{\frac{2}{a}} = e^0 = 1$ である。

以上より、求める極限は

$$\lim_{a\to\infty} S(a) = \frac{1}{2} \times 1 = \frac{1}{2}$$

となる。

解説

(1) は単なる不等式の証明にとどまらず、(2) の極限を求めるための誘導となっている。大学入試で頻出の $\lim_{x\to\infty} \frac{\log x}{x} = 0$ の形を示すための、より厳密な評価式を自分で証明させる問題構成である。

(2) の面積計算においては、積分結果に $\alpha = (a+1)^{\frac{1}{a}}$ をそのまま代入すると累乗の計算が煩雑になる。交点を持った条件式 $\alpha^a = a+1$ を利用して次数を下げてから整理するのが計算ミスの少ない有効な工夫である。

極限計算において、指数の肩に変数がある場合は自然対数をとってから極限を考えるのが定石である。対数をとった結果現れる式に (1) で証明した不等式を適用し、はさみうちの原理で結論づけるという、一連の論理展開を適切に記述することが求められる。

答え

(1) 題意の証明

(2) $\lim_{a\to\infty} S(a) = \frac{1}{2}$