数学3 接線・極限との複合問題 3 解説

方針・初手

点Pの座標を文字でおき、接線の方程式を立てて $x$ 軸との交点Qの座標を求める。それをもとに長方形の横と縦の長さを表す。 (1) は長方形の縦と横の長さが等しいという条件から方程式を解く。 (2) は定積分を用いて曲線の下側の面積を計算し、長方形の面積から引いて上側の面積を求め、両者の比を計算する。その比が点Pの座標（媒介変数）を含まない定数になることを示せばよい。

解法1

点Pの $x$ 座標を $t$ とおくと、Pの座標は $(t, e^{2t})$ である。

関数 $y = e^{2x}$ について、$y' = 2e^{2x}$ であるから、点Pにおける接線の方程式は、

$$y - e^{2t} = 2e^{2t}(x - t)$$

すなわち、

$$y = 2e^{2t}x - 2te^{2t} + e^{2t}$$

点Qは、この接線と $x$ 軸の交点であるから、$y = 0$ とおくと、

$$0 = 2e^{2t}(x - t) + e^{2t}$$

$e^{2t} > 0$ より、両辺を $e^{2t}$ で割ると、

$$2(x - t) + 1 = 0$$

$$x = t - \frac{1}{2}$$

よって、点Qの座標は $\left(t - \frac{1}{2}, 0\right)$ である。

線分PQを対角線とし、$x$ 軸上に1辺をもつ長方形の頂点は、$\left(t - \frac{1}{2}, 0\right)$、$(t, 0)$、$(t, e^{2t})$、$\left(t - \frac{1}{2}, e^{2t}\right)$ の4点となる。したがって、この長方形の横の長さは $t - \left(t - \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}$、縦の長さは $e^{2t}$ である。

(1)

この長方形が正方形となる条件は、横の長さと縦の長さが等しいことである。

$$e^{2t} = \frac{1}{2}$$

両辺の自然対数をとると、

$$2t = \log \frac{1}{2} = -\log 2$$

$$t = -\frac{1}{2}\log 2$$

よって、点Pの座標は $\left(-\frac{1}{2}\log 2, \frac{1}{2}\right)$ である。

(2)

長方形の面積を $S$ とすると、

$$S = \frac{1}{2} \cdot e^{2t} = \frac{e^{2t}}{2}$$

この長方形のうち、曲線 $y = e^{2x}$ によって分けられる下側の部分（曲線と $x$ 軸、および2直線 $x = t - \frac{1}{2}, x = t$ で囲まれた部分）の面積を $S_1$ とすると、

$$\begin{aligned} S_1 &= \int_{t-\frac{1}{2}}^{t} e^{2x} dx \\ &= \left[ \frac{1}{2} e^{2x} \right]_{t-\frac{1}{2}}^{t} \\ &= \frac{1}{2} e^{2t} - \frac{1}{2} e^{2\left(t-\frac{1}{2}\right)} \\ &= \frac{1}{2} e^{2t} - \frac{1}{2} e^{2t-1} \\ &= \frac{e^{2t}}{2} (1 - e^{-1}) \end{aligned}$$

上側の部分の面積を $S_2$ とすると、

$$\begin{aligned} S_2 &= S - S_1 \\ &= \frac{e^{2t}}{2} - \frac{e^{2t}}{2} (1 - e^{-1}) \\ &= \frac{e^{2t}}{2} e^{-1} \end{aligned}$$

ゆえに、面積の比は、

$$\begin{aligned} S_1 : S_2 &= \frac{e^{2t}}{2} (1 - e^{-1}) : \frac{e^{2t}}{2} e^{-1} \\ &= (1 - e^{-1}) : e^{-1} \\ &= (e - 1) : 1 \end{aligned}$$

となり、この比は $t$ に依存しない。したがって、2つの部分の面積の比はPの位置によらず一定となる。

解説

指数関数の微積分と、接線・面積計算を組み合わせた標準的な問題である。接線の $x$ 切片を求める際に、$e^{2t}$ で割ることで $t$ の値によらず底辺の長さが $\frac{1}{2}$ で一定となることがポイントである。 (2) は長方形の面積から積分で求めた片方の面積（下側）を引くことで、もう一方の面積（上側）を出すと計算がスムーズになる。面積の比を求める際に $e^{2t}$ が約分されて消えるため、Pの位置に依存しないことが示される。