数学3 接線・極限との複合問題 15 解説

方針・初手

曲線 $y = \cos x$ は $0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$ において上に凸であるため、この区間において曲線の接線は常に曲線以上の高さをとる。したがって、求める面積 $S(t)$ は「接線の方程式から曲線の式を引いたもの」を $0$ から $\frac{\pi}{2}$ まで定積分することで得られる。定積分を実行して $S(t)$ を $t$ の関数として表し、微分法を用いて増減を調べることで最大値と最小値を求める。

解法1

$f(x) = \cos x$ とおくと、$f'(x) = -\sin x$ である。点 $(t, \cos t)$ における接線の方程式は、

$$y - \cos t = -\sin t \cdot (x - t)$$

$$y = -(\sin t)x + t\sin t + \cos t$$

となる。$0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$ において、$f''(x) = -\cos x \leqq 0$ であるから、曲線 $y = \cos x$ は上に凸であり、接線は常に曲線の上側（または境界上）にある。したがって、求める面積 $S(t)$ は次のように計算できる。

$$\begin{aligned} S(t) &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left\{ -(\sin t)x + t\sin t + \cos t - \cos x \right\} dx \\ &= \left[ -\frac{1}{2}(\sin t)x^2 + (t\sin t + \cos t)x - \sin x \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} \\ &= -\frac{\pi^2}{8}\sin t + \frac{\pi}{2}(t\sin t + \cos t) - 1 \\ &= \frac{\pi}{2}\cos t + \left( \frac{\pi}{2}t - \frac{\pi^2}{8} \right)\sin t - 1 \end{aligned}$$

この関数 $S(t)$ の増減を調べるために $t$ で微分する。

$$\begin{aligned} S'(t) &= -\frac{\pi}{2}\sin t + \frac{\pi}{2}\sin t + \left( \frac{\pi}{2}t - \frac{\pi^2}{8} \right)\cos t \\ &= \frac{\pi}{2} \left( t - \frac{\pi}{4} \right)\cos t \end{aligned}$$

$0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$ において $S'(t) = 0$ となるのは、$\cos t = 0$ となる $t = \frac{\pi}{2}$ を除くと $t = \frac{\pi}{4}$ のみである。これをもとに増減表を書くと以下のようになる。

$t$	$0$	$\cdots$	$\frac{\pi}{4}$	$\cdots$	$\frac{\pi}{2}$
$S'(t)$		$-$	$0$	$+$	$0$
$S(t)$		$\searrow$	極小かつ最小	$\nearrow$

増減表より、$S(t)$ は $t = \frac{\pi}{4}$ のとき最小値をとる。各値を計算すると、

$$S\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \left( \frac{\pi^2}{8} - \frac{\pi^2}{8} \right) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - 1 = \frac{\sqrt{2}\pi}{4} - 1$$

となる。最大値は、区間の端点である $t = 0$ と $t = \frac{\pi}{2}$ での $S(t)$ の値を比較して決定する。

$$S(0) = \frac{\pi}{2} \cdot 1 + \left(0 - \frac{\pi^2}{8}\right) \cdot 0 - 1 = \frac{\pi}{2} - 1$$

$$S\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi}{2} \cdot 0 + \left(\frac{\pi^2}{4} - \frac{\pi^2}{8}\right) \cdot 1 - 1 = \frac{\pi^2}{8} - 1$$

ここで、$S(0)$ と $S\left(\frac{\pi}{2}\right)$ の大小を比較する。差をとると、

$$S(0) - S\left(\frac{\pi}{2}\right) = \left( \frac{\pi}{2} - 1 \right) - \left( \frac{\pi^2}{8} - 1 \right) = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi^2}{8} = \frac{\pi(4 - \pi)}{8}$$

$\pi \approx 3.14$ より $4 - \pi > 0$ であるため、$S(0) - S\left(\frac{\pi}{2}\right) > 0$、すなわち $S(0) > S\left(\frac{\pi}{2}\right)$ である。したがって、$S(t)$ は $t = 0$ のとき最大値をとる。

解説

関数の接線と元の曲線で囲まれた面積を求める典型的な微分積分の問題である。グラフの凸性を述べることで、面積の積分において「(接線の式) - (曲線の式)」となる根拠を明確にするとより丁寧な解答となる。積分計算後は独立変数 $t$ の関数となるため、積の微分法を用いて正確に導関数を計算し、増減表を作成して極値を求める手順を踏む。端点での値の大小比較において $\pi$ の評価が要求される点も、国立大学の入試では頻出の処理である。