数学3 接線・極限との複合問題 14 解説

方針・初手

媒介変数表示された曲線の接線の方程式と、その曲線で囲まれた面積を求める問題である。 (1) は媒介変数で表された関数の微分法 $\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$ を用いて接線の傾きを求めるのが定石である。あるいは、三角関数の関係式 $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$ を用いて媒介変数 $t$ を消去し、$x, y$ の関係式を導いてから微分してもよい。 (2) は曲線と接線、および $y$ 軸の位置関係を把握し、積分区間と上下関係を決定する。積分計算は、媒介変数 $t$ に置換して行う方法と、$x$ の積分としてそのまま行う方法が考えられる。

解法1

(1) $x = \cos^4 t, y = \sin^4 t$ について、両辺を $t$ で微分すると

$$\frac{dx}{dt} = 4\cos^3 t \cdot (-\sin t) = -4\sin t \cos^3 t$$

$$\frac{dy}{dt} = 4\sin^3 t \cos t$$

$t = \frac{\pi}{6}$ のとき、接点 P の座標は

$$x = \cos^4 \frac{\pi}{6} = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^4 = \frac{9}{16}$$

$$y = \sin^4 \frac{\pi}{6} = \left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{1}{16}$$

よって、接点 P は $\left(\frac{9}{16}, \frac{1}{16}\right)$ である。また、点 P における接線の傾き $m$ は

$$m = \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{4\sin^3 t \cos t}{-4\sin t \cos^3 t} = -\frac{\sin^2 t}{\cos^2 t} = -\tan^2 t$$

$t = \frac{\pi}{6}$ を代入すると、

$$m = -\tan^2 \frac{\pi}{6} = -\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 = -\frac{1}{3}$$

したがって、求める接線の方程式は

$$y - \frac{1}{16} = -\frac{1}{3} \left( x - \frac{9}{16} \right)$$

整理して、

$$y = -\frac{1}{3}x + \frac{1}{4}$$

(2) $0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$ において、$x$ は $1$ から $0$ へ単調に減少する。また、曲線の式から $t$ を消去すると $\sqrt{x} = \cos^2 t$, $\sqrt{y} = \sin^2 t$ より $\sqrt{x} + \sqrt{y} = 1$ となる。これを $y$ について解くと $y = (1 - \sqrt{x})^2$ であり、$y'' = \frac{1}{2x\sqrt{x}} > 0$ であるから、曲線は下に凸である。したがって、区間 $0 \leqq x \leqq \frac{9}{16}$ において、接線 $y = -\frac{1}{3}x + \frac{1}{4}$ は常に曲線 $y = (1 - \sqrt{x})^2$ の下側にある。

求める面積 $S$ は、曲線、接線、および $y$ 軸 ($x=0$) で囲まれる図形の面積である。これを $\int_{0}^{\frac{9}{16}} y \,dx$ から、接線と $x$ 軸などで囲まれる台形の面積 $T$ を引いて求める。

接線と $x=0$, $x=\frac{9}{16}$, $x$ 軸で囲まれる台形の面積 $T$ は

$$T = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{4} + \frac{1}{16} \right) \cdot \frac{9}{16} = \frac{45}{512}$$

次に、曲線の積分 $I = \int_{0}^{\frac{9}{16}} y \,dx$ を計算する。 $x$ と $t$ の対応は、$x=0$ のとき $t=\frac{\pi}{2}$、$x=\frac{9}{16}$ のとき $t=\frac{\pi}{6}$ であり、$dx = -4\sin t \cos^3 t \,dt$ であるから、

$$I = \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{6}} \sin^4 t \cdot (-4\sin t \cos^3 t) \,dt = 4 \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \sin^5 t \cos^3 t \,dt$$

$$I = 4 \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \sin^5 t (1 - \sin^2 t) \cos t \,dt$$

ここで、$u = \sin t$ とおくと、$du = \cos t \,dt$ $t$ が $\frac{\pi}{6}$ から $\frac{\pi}{2}$ に変化するとき、$u$ は $\frac{1}{2}$ から $1$ に変化する。

$$I = 4 \int_{\frac{1}{2}}^{1} u^5 (1 - u^2) \,du = 4 \int_{\frac{1}{2}}^{1} (u^5 - u^7) \,du$$

$$I = 4 \left[ \frac{u^6}{6} - \frac{u^8}{8} \right]_{\frac{1}{2}}^{1} = 4 \left\{ \left( \frac{1}{6} - \frac{1}{8} \right) - \left( \frac{1}{6 \cdot 2^6} - \frac{1}{8 \cdot 2^8} \right) \right\}$$

$$I = 4 \left( \frac{1}{24} - \frac{13}{3 \cdot 2^{11}} \right) = \frac{1}{6} - \frac{13}{1536} = \frac{256 - 13}{1536} = \frac{243}{1536} = \frac{81}{512}$$

したがって、求める面積 $S$ は

$$S = I - T = \frac{81}{512} - \frac{45}{512} = \frac{36}{512} = \frac{9}{128}$$

解法2

(1) $0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$ より $\cos t \geqq 0, \sin t \geqq 0$ であるから、曲線の式は

$$\sqrt{x} = \cos^2 t$$

$$\sqrt{y} = \sin^2 t$$

と変形できる。両辺を足し合わせると $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$ より、曲線の式は $\sqrt{x} + \sqrt{y} = 1$ と表せる。この式の両辺を $x$ で微分すると、

$$\frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{2\sqrt{y}} \cdot y' = 0$$

$$y' = -\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}}$$

$t = \frac{\pi}{6}$ のとき、$x = \cos^4 \frac{\pi}{6} = \frac{9}{16}, y = \sin^4 \frac{\pi}{6} = \frac{1}{16}$ であり、接点の座標は $\left(\frac{9}{16}, \frac{1}{16}\right)$ である。これを代入すると、接線の傾き $m$ は

$$m = -\frac{\sqrt{\frac{1}{16}}}{\sqrt{\frac{9}{16}}} = -\frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{4}} = -\frac{1}{3}$$

したがって、求める接線の方程式は

$$y - \frac{1}{16} = -\frac{1}{3} \left( x - \frac{9}{16} \right)$$

$$y = -\frac{1}{3}x + \frac{1}{4}$$

(2) 曲線の方程式 $\sqrt{x} + \sqrt{y} = 1$ を $y$ について解き、展開すると $y = (1 - \sqrt{x})^2 = 1 - 2\sqrt{x} + x$ となる。曲線は下に凸であるため、区間 $0 \leqq x \leqq \frac{9}{16}$ において接線は曲線の下側にある。求める面積 $S$ は、曲線 $y = 1 - 2\sqrt{x} + x$ と接線 $y = -\frac{1}{3}x + \frac{1}{4}$、$y$ 軸によって囲まれる部分の面積であるから、

$$S = \int_{0}^{\frac{9}{16}} \left\{ (1 - 2x^{\frac{1}{2}} + x) - \left( -\frac{1}{3}x + \frac{1}{4} \right) \right\} \,dx$$

$$S = \int_{0}^{\frac{9}{16}} \left( \frac{3}{4} - 2x^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{3}x \right) \,dx$$

$$S = \left[ \frac{3}{4}x - \frac{4}{3}x^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{3}x^2 \right]_{0}^{\frac{9}{16}}$$

$x = \frac{9}{16}$ を代入して計算すると、

$$S = \frac{3}{4} \cdot \frac{9}{16} - \frac{4}{3} \left(\frac{9}{16}\right)^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{3} \left(\frac{9}{16}\right)^2$$

$$S = \frac{27}{64} - \frac{4}{3} \cdot \frac{27}{64} + \frac{2}{3} \cdot \frac{81}{256}$$

$$S = \frac{27}{64} - \frac{9}{16} + \frac{27}{128}$$

通分して、

$$S = \frac{54 - 72 + 27}{128} = \frac{9}{128}$$

解説

与えられた曲線は $\sqrt{x} + \sqrt{y} = 1$ という簡潔な陰関数で表すことができる。この変形に気づけば、解法2のように非常に見通しよく計算を進めることが可能である。そのまま媒介変数を活用する解法1の積分計算では、被積分関数が複雑になりやすいため、置換積分を正しく適用する計算力と、図形の面積（台形）を引く工夫により計算ミスを防ぐことが重要になる。曲線の凸性を確認し、接線との上下関係を正確に把握することも面積計算における必須のプロセスである。