数学3 接線・極限との複合問題 19 解説

方針・初手

(1) は積の微分法と三角関数の微分公式を用いて素直に計算する。 (2) は被積分関数 $\frac{x\sin x + \cos x}{x^2}$ の形から商の微分法を連想し、直接原始関数を見つけるのが最も簡明である。見つけにくい場合は、被積分関数を $\frac{\sin x}{x}$ と $\frac{\cos x}{x^2}$ に分け、一方に部分積分を適用することで積分を実行できる。 (3) は(2)で得られた数列 $a_n$ が階差の形をしていることに着目し、無限級数の第 $k$ 部分和を求めてから極限をとる。

解法1

(1)

積の微分法より、

$$\begin{aligned} (x\sin x + \cos x)' &= (x)'\sin x + x(\sin x)' + (\cos x)' \\ &= \sin x + x\cos x - \sin x \\ &= x\cos x \end{aligned}$$

(2)

商の微分法より、

$$\left( \frac{\cos x}{x} \right)' = \frac{-\sin x \cdot x - \cos x \cdot 1}{x^2} = - \frac{x\sin x + \cos x}{x^2}$$

が成り立つから、

$$\left( -\frac{\cos x}{x} \right)' = \frac{x\sin x + \cos x}{x^2}$$

となる。したがって、

$$\begin{aligned} \int_{2n\pi}^{2(n+1)\pi} \frac{x\sin x + \cos x}{x^2} dx &= \left[ -\frac{\cos x}{x} \right]_{2n\pi}^{2(n+1)\pi} \\ &= -\frac{\cos 2(n+1)\pi}{2(n+1)\pi} - \left( -\frac{\cos 2n\pi}{2n\pi} \right) \end{aligned}$$

ここで、$n$ は自然数であるから、$\cos 2(n+1)\pi = 1$、$\cos 2n\pi = 1$ である。よって、

$$\begin{aligned} \int_{2n\pi}^{2(n+1)\pi} \frac{x\sin x + \cos x}{x^2} dx &= -\frac{1}{2(n+1)\pi} + \frac{1}{2n\pi} \\ &= \frac{1}{2\pi} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) \end{aligned}$$

(3)

無限級数の第 $k$ 部分和を $S_k$ とすると、

$$\begin{aligned} S_k &= \sum_{n=1}^{k} a_n \\ &= \sum_{n=1}^{k} \frac{1}{2\pi} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) \\ &= \frac{1}{2\pi} \left\{ \left( 1 - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right) \right\} \\ &= \frac{1}{2\pi} \left( 1 - \frac{1}{k+1} \right) \end{aligned}$$

したがって、求める無限級数の和は、

$$\begin{aligned} \sum_{n=1}^{\infty} a_n &= \lim_{k \to \infty} S_k \\ &= \lim_{k \to \infty} \frac{1}{2\pi} \left( 1 - \frac{1}{k+1} \right) \\ &= \frac{1}{2\pi} \end{aligned}$$

解法2

(2)の別解

被積分関数を2つの項に分けて積分を行う。

$$\begin{aligned} \int \frac{x\sin x + \cos x}{x^2} dx &= \int \left( \frac{\sin x}{x} + \frac{\cos x}{x^2} \right) dx \\ &= \int \frac{\sin x}{x} dx + \int \cos x \cdot x^{-2} dx \end{aligned}$$

第2項の積分に対して部分積分法を用いると、

$$\begin{aligned} \int \cos x \cdot x^{-2} dx &= \int \cos x \left( -x^{-1} \right)' dx \\ &= \cos x \left( -x^{-1} \right) - \int (\cos x)' \left( -x^{-1} \right) dx \\ &= -\frac{\cos x}{x} - \int (-\sin x) \left( -\frac{1}{x} \right) dx \\ &= -\frac{\cos x}{x} - \int \frac{\sin x}{x} dx \end{aligned}$$

これを元の式に代入すると、

$$\begin{aligned} \int \frac{x\sin x + \cos x}{x^2} dx &= \int \frac{\sin x}{x} dx - \frac{\cos x}{x} - \int \frac{\sin x}{x} dx \\ &= -\frac{\cos x}{x} + C \quad (C \text{ は積分定数}) \end{aligned}$$

となり、原始関数が求まる。以降の定積分の計算は解法1と同様である。

$$\begin{aligned} a_n &= \left[ -\frac{\cos x}{x} \right]_{2n\pi}^{2(n+1)\pi} \\ &= -\frac{1}{2(n+1)\pi} + \frac{1}{2n\pi} \\ &= \frac{1}{2\pi} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) \end{aligned}$$

解説

(2)における積分の計算が本問の核心である。分数関数の積分では、微分の逆算として原始関数を見つける手法が頻出する。分母が $x^2$ であることから、$\left(\frac{f(x)}{x}\right)'$ の形を予想することがポイントとなる。解法2のように被積分関数を分割して一方だけを部分積分し、もう一方の積分と打ち消し合う手法も、積分が困難な関数（本問における $\frac{\sin x}{x}$）が含まれている場合の定石である。 (3)は典型的な「部分分数分解型の無限級数（望遠鏡和）」であり、部分和を求めてから途中の項が次々と相殺されることを利用し、極限をとるという基本手順を踏めばよい。