数学3 接線・極限との複合 問題 20 解説

方針・初手

(1) 関数の第1次導関数と第2次導関数を計算し、増減、極値、凹凸、変曲点を調べる。また、極限の条件を用いて漸近線を把握し、グラフの概形を捉える。

(2) 接点を $(t, f(t))$ とおいて接線の方程式を立て、それが原点を通る条件から接点の座標を求める。その後、曲線と接線の上下関係を調べ、定積分により面積を計算する。

解法1

(1)

$f(x) = x(1-x)e^{-x} = (x - x^2)e^{-x}$ を微分する。

$$\begin{aligned} f'(x) &= (1 - 2x)e^{-x} + (x - x^2)(-e^{-x}) \\ &= (x^2 - 3x + 1)e^{-x} \end{aligned}$$

さらに微分する。

$$\begin{aligned} f''(x) &= (2x - 3)e^{-x} + (x^2 - 3x + 1)(-e^{-x}) \\ &= (-x^2 + 5x - 4)e^{-x} \\ &= -(x - 1)(x - 4)e^{-x} \end{aligned}$$

$f'(x) = 0$ とすると、$e^{-x} > 0$ より $x^2 - 3x + 1 = 0$ となり、$x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$ である。 $f''(x) = 0$ とすると、$e^{-x} > 0$ より $-(x - 1)(x - 4) = 0$ となり、$x = 1, 4$ である。

$\alpha = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}, \beta = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$ とおくと、$2 < \sqrt{5} < 3$ であるから $0 < \alpha < 1 < 2 < \beta < 3$ となり、増減や凹凸をまとめると以下の表のようになる。

ここで、極値をとるときの $f(x)$ の値を求める。 $x^2 - 3x + 1 = 0$ より $-x^2 = -3x + 1$ であるから、 $f(x) = (-x^2 + x)e^{-x} = (-3x + 1 + x)e^{-x} = (-2x + 1)e^{-x}$ と表せる。 よって、極値はそれぞれ以下のようになる。 極大値 $f(\alpha) = (-2\alpha + 1)e^{-\alpha} = (\sqrt{5} - 2)e^{-\alpha}$ 極小値 $f(\beta) = (-2\beta + 1)e^{-\beta} = (-\sqrt{5} - 2)e^{-\beta}$

また、変曲点の座標は、 $x = 1$ のとき $f(1) = 0$ $x = 4$ のとき $f(4) = -12e^{-4}$ である。

さらに、極限は問題文の条件 $\lim_{x\to\infty} f(x) = 0$ に加えて、 $\lim_{x\to-\infty} f(x) = \lim_{x\to-\infty} x(1-x)e^{-x} = -\infty$ （$\lim_{x\to-\infty} x(1-x) = -\infty, \lim_{x\to-\infty} e^{-x} = \infty$ より） であり、また $x$ 軸との交点は $f(x) = 0$ より $x = 0, 1$ である。

以上より、$C$ の凹凸は、$x < 1, 4 < x$ の区間で上に凸、$1 < x < 4$ の区間で下に凸である。 概形は、上に凸で増加し極大、上に凸で減少し $(1,0)$ で変曲、下に凸で減少し極小、下に凸で増加し $(4, -12e^{-4})$ で変曲、その後上に凸で増加しながら $x$ 軸に近づく曲線となる。

(2)

曲線 $C$ 上の点 $(t, f(t))$ における接線の方程式は、

$$y - (t - t^2)e^{-t} = (t^2 - 3t + 1)e^{-t}(x - t)$$

これが原点 $(0,0)$ を通るので、$x=0, y=0$ を代入して、

$$-(t - t^2)e^{-t} = (t^2 - 3t + 1)e^{-t}(-t)$$

$e^{-t} > 0$ より両辺を $e^{-t}$ で割ると、

$$\begin{aligned} t^2 - t &= -t^3 + 3t^2 - t \\ t^3 - 2t^2 &= 0 \\ t^2(t - 2) &= 0 \end{aligned}$$

原点以外の点における接線であるから、$t \neq 0$ であり、$t = 2$ となる。 このとき、接線 $l$ の傾きは $f'(2) = (4 - 6 + 1)e^{-2} = -e^{-2}$ であるから、接線 $l$ の方程式は $y = -e^{-2}x$ である。

次に、区間 $0 \le x \le 2$ における曲線 $C$ と接線 $l$ の上下関係を調べる。 $g(x) = f(x) - (-e^{-2}x) = x(1-x)e^{-x} + xe^{-2} = x \{ (1-x)e^{-x} + e^{-2} \}$ とおく。 $h(x) = (1-x)e^{-x} + e^{-2}$ とおくと、

$$h'(x) = -e^{-x} + (1-x)(-e^{-x}) = (x - 2)e^{-x}$$

$0 < x < 2$ において $h'(x) < 0$ であるから、$h(x)$ はこの区間で単調減少する。 $h(2) = -e^{-2} + e^{-2} = 0$ であるため、$0 < x < 2$ において $h(x) > 0$ である。 したがって、$0 < x < 2$ において $g(x) = x h(x) > 0$ となり、曲線 $C$ は接線 $l$ の上側にあることがわかる。

よって、求める面積 $S$ は、

$$\begin{aligned} S &= \int_{0}^{2} g(x) dx \\ &= \int_{0}^{2} \left\{ (x - x^2)e^{-x} + e^{-2}x \right\} dx \end{aligned}$$

ここで、部分積分法を用いて不定積分 $\int (x - x^2)e^{-x} dx$ を計算する。

$$\begin{aligned} \int (x - x^2)e^{-x} dx &= \int (x - x^2)(-e^{-x})' dx \\ &= -(x - x^2)e^{-x} - \int (1 - 2x)(-e^{-x}) dx \\ &= (x^2 - x)e^{-x} - \int (2x - 1)e^{-x} dx \\ &= (x^2 - x)e^{-x} - \left\{ (2x - 1)(-e^{-x}) - \int 2(-e^{-x}) dx \right\} \\ &= (x^2 - x)e^{-x} + (2x - 1)e^{-x} - \int 2e^{-x} dx \\ &= (x^2 - x)e^{-x} + (2x - 1)e^{-x} + 2e^{-x} + C \\ &= (x^2 + x + 1)e^{-x} + C \quad (\text{ただし、} C \text{ は積分定数}) \end{aligned}$$

したがって、求める面積 $S$ は、

$$\begin{aligned} S &= \left[ (x^2 + x + 1)e^{-x} \right]_{0}^{2} + \left[ \frac{1}{2} e^{-2} x^2 \right]_{0}^{2} \\ &= \left( (4 + 2 + 1)e^{-2} - 1 \right) + 2e^{-2} \\ &= 9e^{-2} - 1 \end{aligned}$$

解説

関数のグラフの概形を描く微分法の基本と、接線の方程式、面積を求める積分法の標準的な問題である。

(1) では、第2次導関数まで正確に計算し、極値と変曲点を増減表にまとめることが重要である。指数関数と多項式の積の微分は計算ミスが起きやすいため、慎重に行う必要がある。

(2) では、接点を文字でおいてから「原点を通る」という条件を処理する、接線問題の基本手順を踏む。面積を求める際は、被積分関数の符号（グラフの上下関係）を調べてから積分区間を決定する。部分積分を繰り返す計算では、符号のミスに注意が必要である。

答え

(1)

増減と凹凸は以下の表のようになる。（ $\alpha = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}, \beta = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$ ）

概形は、上に凸で増加し極大、上に凸で減少し $(1,0)$ で変曲、下に凸で減少し極小、下に凸で増加し $(4, -12e^{-4})$ で変曲、その後上に凸で増加しながら $x$ 軸に漸近する曲線である。

(2)

$9e^{-2} - 1$