数学3 接線・極限との複合問題 25 解説

方針・初手

(1) は導関数の定義に従って接線の方程式を立てる。 (2) は対数関数が上に凸であるため、接線が常に曲線の上側にあることを利用して面積の定積分を計算する。対数関数の積分は部分積分を用いるのが定石である。 (3) は (2) で求めた $S(t)$ を $t$ で微分し、与えられた区間における増減表を作成して最小値を求める。

解法1

(1)

$y = \log x$ について、$x > 0$ であり、$y' = \frac{1}{x}$ である。

点 $(t, \log t)$ における接線 $l$ の傾きは $\frac{1}{t}$ であるから、その方程式は

$$y - \log t = \frac{1}{t}(x - t)$$

よって、接線 $l$ の方程式は

$$y = \frac{x}{t} + \log t - 1$$

(2)

$y = \log x$ の第2次導関数は $y'' = -\frac{1}{x^2} < 0$ であるから、曲線 $y = \log x$ は上に凸である。したがって、$x > 0$ において、接線 $l$ は曲線 $y = \log x$ の上側（または曲線上）にある。求める面積 $S(t)$ は、

$$\begin{aligned} S(t) &= \int_{1}^{e} \left\{ \left( \frac{x}{t} + \log t - 1 \right) - \log x \right\} dx \\ &= \left[ \frac{x^2}{2t} + (\log t - 1)x - (x \log x - x) \right]_{1}^{e} \\ &= \left[ \frac{x^2}{2t} + x \log t - x \log x \right]_{1}^{e} \end{aligned}$$

上限 $e$ と下限 $1$ を代入して計算すると、

$$\begin{aligned} S(t) &= \left( \frac{e^2}{2t} + e \log t - e \log e \right) - \left( \frac{1}{2t} + 1 \cdot \log t - 1 \cdot \log 1 \right) \\ &= \left( \frac{e^2}{2t} + e \log t - e \right) - \left( \frac{1}{2t} + \log t \right) \\ &= \frac{e^2 - 1}{2t} + (e - 1)\log t - e \end{aligned}$$

(3)

(2) より、$S(t) = \frac{e^2 - 1}{2} t^{-1} + (e - 1)\log t - e$ である。これを $t$ について微分すると、

$$\begin{aligned} S'(t) &= -\frac{e^2 - 1}{2t^2} + \frac{e - 1}{t} \\ &= \frac{e - 1}{t^2} \left( -\frac{e + 1}{2} + t \right) \end{aligned}$$

$S'(t) = 0$ とすると、$e > 1$ であるから

$$t = \frac{e + 1}{2}$$

$2 < e < 3$ より $1.5 < \frac{e + 1}{2} < 2$ であるため、この $t$ の値は $1 \leqq t \leqq e$ の範囲にある。 $1 \leqq t \leqq e$ における $S(t)$ の増減表は次のようになる。

$t$	$1$	$\cdots$	$\frac{e+1}{2}$	$\cdots$	$e$
$S'(t)$		$-$	$0$	$+$
$S(t)$		$\searrow$	極小（最小）	$\nearrow$

増減表より、$S(t)$ は $t = \frac{e + 1}{2}$ のとき最小となる。

解法2

(2) の別解（図形的な面積の利用）

接線 $l$ と直線 $x=1, x=e$ および $x$ 軸で囲まれる図形（台形）の定積分から、曲線 $y = \log x$ の下の面積を引くことで $S(t)$ を求めることもできる。

$x=1$ のとき、接線上の点の $y$ 座標は $y_1 = \frac{1}{t} + \log t - 1$ $x=e$ のとき、接線上の点の $y$ 座標は $y_e = \frac{e}{t} + \log t - 1$

したがって、接線の定積分を台形の面積の公式（上底＋下底）×高さ÷2と同様に計算し、これを $S_1$ とすると、

$$\begin{aligned} S_1 &= \int_{1}^{e} \left( \frac{x}{t} + \log t - 1 \right) dx \\ &= \frac{1}{2}(e - 1)(y_1 + y_e) \\ &= \frac{1}{2}(e - 1) \left( \frac{e + 1}{t} + 2\log t - 2 \right) \\ &= \frac{e^2 - 1}{2t} + (e - 1)\log t - (e - 1) \end{aligned}$$

また、曲線 $y = \log x$ の定積分を $S_2$ とすると、

$$\begin{aligned} S_2 &= \int_{1}^{e} \log x dx \\ &= \left[ x \log x - x \right]_{1}^{e} \\ &= (e - e) - (0 - 1) \\ &= 1 \end{aligned}$$

ゆえに、求める面積 $S(t)$ は

$$\begin{aligned} S(t) &= S_1 - S_2 \\ &= \frac{e^2 - 1}{2t} + (e - 1)\log t - e \end{aligned}$$

解説

微積分を用いた面積の最大・最小問題における典型的な流れである。 (1) での接線の方程式の導出、(2) での定積分の計算、(3) での導関数を用いた増減の調査という、標準的なステップを踏む。 (2) で積分を計算する際、被積分関数 $\log x$ の不定積分が $x \log x - x + C$ であることは頻出なので、ただちに使えるようにしておきたい。また、解法2のように、1次関数の定積分を台形の面積の計算として図形的に処理することで、計算ミスを減らす工夫も有効である。