数学3 接線・極限との複合問題 27 解説

方針・初手

2曲線が点Pを共有し、その点で共通の接線をもつという条件は、点Pの $x$ 座標を $t$ としたとき、$f(t) = g(t)$ かつ $f'(t) = g'(t)$ が成り立つことと同値である。まずはこの連立方程式を解いて $t$ と $a$ の値を求める。その後、関数の差をとって微分し、増減を調べることで共有点が1つであることを示し、最後にグラフの上下関係を把握して面積を計算する。

解法1

(1)

$f(x) = a + \log x \ (x > 0)$ より、

$$f'(x) = \frac{1}{x}$$

$g(x) = \sqrt{x-1} \ (x \geqq 1)$ より、$x > 1$ において、

$$g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x-1}}$$

2曲線 $y = f(x)$ と $y = g(x)$ がある点Pを共有し、その点で共通の接線 $l$ をもつとする。点Pの $x$ 座標を $t$ とおく。$x \to 1+0$ のとき $g'(x) \to \infty$ となり、$f'(1) = 1$ と一致しないため、$t > 1$ である。点Pで共通接線をもつ条件は、

$$\begin{cases} f(t) = g(t) \\ f'(t) = g'(t) \end{cases}$$

であるから、

$$a + \log t = \sqrt{t-1} \cdots ①$$

$$\frac{1}{t} = \frac{1}{2\sqrt{t-1}} \cdots ②$$

②より、$2\sqrt{t-1} = t$ を得る。 $t > 1$ より両辺ともに正であるから、両辺を2乗して整理する。

$$4(t-1) = t^2$$

$$t^2 - 4t + 4 = 0$$

$$(t-2)^2 = 0$$

よって、$t = 2$ となり、これは $t > 1$ を満たす。このとき、点Pの $y$ 座標は $g(2) = \sqrt{2-1} = 1$ であるから、点Pの座標は $(2, 1)$ となる。また、①に $t = 2$ を代入すると、

$$a + \log 2 = 1$$

$$a = 1 - \log 2$$

接線 $l$ の傾きは $f'(2) = \frac{1}{2}$ であるから、その方程式は、

$$y - 1 = \frac{1}{2}(x - 2)$$

$$y = \frac{1}{2}x$$

(2)

(1)より、$a = 1 - \log 2$ であるから、$f(x) = 1 - \log 2 + \log x$ である。 $x \geqq 1$ において、$h(x) = f(x) - g(x)$ とおく。

$$h(x) = 1 - \log 2 + \log x - \sqrt{x-1}$$

$x > 1$ において微分すると、

$$h'(x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{2\sqrt{x-1}} = \frac{2\sqrt{x-1} - x}{2x\sqrt{x-1}}$$

分子について、

$$2\sqrt{x-1} - x = \frac{4(x-1) - x^2}{2\sqrt{x-1} + x} = \frac{-(x-2)^2}{2\sqrt{x-1} + x}$$

$x > 1$ のとき $2\sqrt{x-1} + x > 0$ であるから、$x \neq 2$ において $h'(x) < 0$、$h'(2) = 0$ となる。したがって、$h(x)$ は $x \geqq 1$ において単調に減少する。 $h(2) = f(2) - g(2) = 0$ であるから、$h(x) = 0$ となるのは $x = 2$ のみである。よって、2曲線 $y = f(x)$ と $y = g(x)$ は点P $(2, 1)$ 以外の共有点を持たない。

(3)

$y = f(x)$ と $x$ 軸の交点の $x$ 座標は、$f(x) = 0$ とすると、

$$1 - \log 2 + \log x = 0$$

$$\log x = \log 2 - 1$$

$$x = e^{\log 2 - 1} = \frac{2}{e}$$

$y = g(x)$ と $x$ 軸の交点の $x$ 座標は、$x = 1$ である。 $\frac{2}{e} < 1$ であり、(2)より $1 \leqq x < 2$ において $h(x) > h(2) = 0$、すなわち $f(x) > g(x) \geqq 0$ である。したがって、2曲線と $x$ 軸で囲まれた部分は、$x$ 軸、$x = 2$、$y = f(x)$ で囲まれた部分から、$x$ 軸、$x = 2$、$y = g(x)$ で囲まれた部分を除いた領域となる。求める面積を $S$ とすると、

$$S = \int_{\frac{2}{e}}^{2} f(x) dx - \int_{1}^{2} g(x) dx$$

それぞれの定積分を計算する。

$$\int_{\frac{2}{e}}^{2} f(x) dx = \int_{\frac{2}{e}}^{2} (1 - \log 2 + \log x) dx$$

$$= \left[ (1 - \log 2)x + x \log x - x \right]_{\frac{2}{e}}^{2}$$

$$= \left[ x \log x - x \log 2 \right]_{\frac{2}{e}}^{2}$$

$$= (2 \log 2 - 2 \log 2) - \left( \frac{2}{e} \log \frac{2}{e} - \frac{2}{e} \log 2 \right)$$

$$= 0 - \frac{2}{e} (\log 2 - 1 - \log 2) = \frac{2}{e}$$

また、

$$\int_{1}^{2} g(x) dx = \int_{1}^{2} \sqrt{x-1} dx$$

$$= \left[ \frac{2}{3}(x-1)^{\frac{3}{2}} \right]_{1}^{2} = \frac{2}{3}$$

ゆえに、

$$S = \frac{2}{e} - \frac{2}{3}$$

解説

2曲線が接する（共通接線をもつ）ための条件 $f(t) = g(t)$ かつ $f'(t) = g'(t)$ を正しく立式できるかが鍵となる。また、(2)で共有点が1つであることを示す際、関数の差 $h(x) = f(x) - g(x)$ を設定して微分し、導関数の符号を調べる手法は微分法の応用として頻出である。導関数の分子の符号判定において、有理化の逆のような変形（共役な式を掛ける）を行うと見通しが良い。面積計算では、対数関数の積分 $\int \log x dx = x \log x - x + C$ を正確に扱う計算力が求められる。