数学3 接線・極限との複合問題 28 解説

方針・初手

問題の指示に従い、$S_1(u)$ と $S_2(u)$ を定積分でそれぞれ表現して差をとる方針で進める。$u > 1$ の範囲において、曲線 $y = \log x$ の凹凸を考慮することで、接線や直線と曲線の上下関係を正しく把握することが第一歩となる。

また、後半の極値の評価においては、導関数の増減と極限から極大値がただ1つ存在することを示し、具体的な $u$ の値を代入することで極大値が正であることを評価する。

解法1

(1)

曲線 $C : y = \log x$ について、$y' = \frac{1}{x}$ である。点 $\text{P}(u, \log u)$ における接線 $l$ の方程式は

$$y - \log u = \frac{1}{u}(x - u) \iff y = \frac{1}{u}x + \log u - 1$$

また、点 $\text{A}(1, 0)$ と点 $\text{P}(u, \log u)$ を通る直線 $m$ の方程式は

$$y = \frac{\log u}{u - 1}(x - 1)$$

$u > 1$ とし、区間 $1 \leqq x \leqq u$ を考える。この区間において、曲線 $C$ は上に凸であるため、接線 $l$ は曲線 $C$ の上側にあり、直線 $m$ は曲線 $C$ の下側にある。したがって、$S_1(u)$ および $S_2(u)$ はそれぞれ以下のように立式できる。

$$S_1(u) = \int_1^u \left( \frac{1}{u}x + \log u - 1 - \log x \right) dx$$

$$S_2(u) = \int_1^u \left( \log x - \frac{\log u}{u - 1}(x - 1) \right) dx$$

ここで、$S(u) = S_1(u) - S_2(u)$ であるから、

$$\begin{aligned} S(u) &= \int_1^u \left( \frac{1}{u}x + \log u - 1 - \log x \right) dx - \int_1^u \left( \log x - \frac{\log u}{u - 1}(x - 1) \right) dx \\ &= \int_1^u \left( \frac{1}{u}x + \log u - 1 + \frac{\log u}{u - 1}(x - 1) - 2\log x \right) dx \end{aligned}$$

不定積分 $\int \log x dx = x \log x - x + C$ を用いて計算する。

$$\begin{aligned} S_1(u) &= \left[ \frac{1}{2u}x^2 + (\log u - 1)x - (x \log x - x) \right]_1^u \\ &= \left[ \frac{1}{2u}x^2 + x \log u - x \log x \right]_1^u \\ &= \left( \frac{u}{2} + u \log u - u \log u \right) - \left( \frac{1}{2u} + \log u \right) \\ &= \frac{u}{2} - \frac{1}{2u} - \log u \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} S_2(u) &= \left[ (x \log x - x) - \frac{\log u}{2(u - 1)}(x - 1)^2 \right]_1^u \\ &= \left( u \log u - u - \frac{\log u}{2(u - 1)}(u - 1)^2 \right) - (-1 - 0) \\ &= u \log u - u - \frac{1}{2}(u - 1)\log u + 1 \\ &= \frac{1}{2}(u + 1)\log u - u + 1 \end{aligned}$$

よって、$S(u)$ は次のように求まる。

$$\begin{aligned} S(u) &= \left( \frac{u}{2} - \frac{1}{2u} - \log u \right) - \left( \frac{1}{2}(u + 1)\log u - u + 1 \right) \\ &= \frac{3}{2}u - \frac{1}{2u} - 1 - \frac{1}{2}(u + 3)\log u \end{aligned}$$

(2)

(1) の結果より、$S(u)$ を $u$ で微分する。

$$\begin{aligned} S'(u) &= \frac{3}{2} + \frac{1}{2u^2} - \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \log u - \frac{1}{2}(u + 3) \cdot \frac{1}{u} \\ &= \frac{3}{2} + \frac{1}{2u^2} - \frac{1}{2}\log u - \frac{1}{2} - \frac{3}{2u} \\ &= \frac{2u^2 - 3u + 1}{2u^2} - \frac{1}{2}\log u \end{aligned}$$

さらに第2次導関数を求める。

$$\begin{aligned} S''(u) &= \frac{(4u - 3) \cdot 2u^2 - (2u^2 - 3u + 1) \cdot 4u}{4u^4} - \frac{1}{2u} \\ &= \frac{8u^3 - 6u^2 - 8u^3 + 12u^2 - 4u}{4u^4} - \frac{2u^3}{4u^4} \\ &= \frac{-2u^3 + 6u^2 - 4u}{4u^4} \\ &= \frac{-u^2 + 3u - 2}{2u^3} \\ &= -\frac{(u - 1)(u - 2)}{2u^3} \end{aligned}$$

$u > 1$ において $S''(u) = 0$ となるのは $u = 2$ のときのみである。 $u$ の増減と曲線の凹凸の表は以下のようになる。

$$\begin{array}{c|c|c|c|c} u & (1) & \cdots & 2 & \cdots \\ \hline S''(u) & & + & 0 & - \\ \hline S'(u) & & \nearrow & \text{極大} & \searrow \\ \hline S(u) & & \text{下に凸} & \text{変曲点} & \text{上に凸} \end{array}$$

よって、変曲点の $u$ 座標は $2$ である。このとき、$v$ 座標は

$$v = S(2) = \frac{3}{2} \cdot 2 - \frac{1}{2 \cdot 2} - 1 - \frac{1}{2}(2 + 3)\log 2 = \frac{7}{4} - \frac{5}{2}\log 2$$

以上より、変曲点の座標は $\left( 2, \frac{7}{4} - \frac{5}{2}\log 2 \right)$ である。

(3)

(2) の増減表より、$S'(u)$ は $1 < u \leqq 2$ で単調増加、$u \geqq 2$ で単調減少する。ここで、$\lim_{u \to 1+0} S'(u)$ を考えると、

$$\lim_{u \to 1+0} S'(u) = \frac{2 - 3 + 1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0 = 0$$

これと $1 < u \leqq 2$ における単調増加性より、$1 < u \leqq 2$ において $S'(u) > 0$ である。したがって、$S'(2) > 0$ が成り立つ。一方で、$u \to \infty$ の極限を考えると、

$$\lim_{u \to \infty} S'(u) = \lim_{u \to \infty} \left( 1 - \frac{3}{2u} + \frac{1}{2u^2} - \frac{1}{2}\log u \right) = -\infty$$

$S'(u)$ は $u \geqq 2$ において単調減少して連続であり、$S'(2) > 0$ かつ $\lim_{u \to \infty} S'(u) = -\infty$ であるため、中間値の定理により $S'(\alpha) = 0$ を満たす $\alpha > 2$ がただ1つ存在する。これより、$S'(u)$ の符号は $1 < u < \alpha$ において正、$u = \alpha$ において $0$、$u > \alpha$ において負となる。よって、$S(u)$ は $u = \alpha$ においてただ1つの極大値をもち、これが最大値となる。

次に、この極大値 $S(\alpha)$ が正であることを示す。 $\alpha$ は $S(u)$ を最大にする値であるから、特定の $u > 1$ に対して $S(u) > 0$ を示せば、$S(\alpha) \geqq S(u) > 0$ となる。ここで、$u = e$ （自然対数の底）を考える。

$$\begin{aligned} S(e) &= \frac{3}{2}e - \frac{1}{2e} - 1 - \frac{1}{2}(e + 3)\log e \\ &= \frac{3}{2}e - \frac{1}{2e} - 1 - \frac{1}{2}e - \frac{3}{2} \\ &= e - \frac{5}{2} - \frac{1}{2e} \\ &= \frac{2e^2 - 5e - 1}{2e} \end{aligned}$$

自然対数の底 $e$ の値について、$e = 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \cdots > 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} = \frac{65}{24} \approx 2.708$ より、$e > 2.7$ であることを用いる。 $f(x) = 2x^2 - 5x - 1$ とおくと、放物線 $y = f(x)$ の軸は $x = \frac{5}{4}$ であるため、$x > 2.7$ において $f(x)$ は単調増加する。

$$f(2.7) = 2(2.7)^2 - 5(2.7) - 1 = 14.58 - 13.5 - 1 = 0.08 > 0$$

したがって、$e > 2.7$ より $f(e) > f(2.7) > 0$ が成り立つ。これより $2e^2 - 5e - 1 > 0$ となり、$S(e) > 0$ であることが示された。

極大値 $S(\alpha)$ は $S(u)$ の最大値であるから、$S(\alpha) \geqq S(e) > 0$ である。ゆえに、関数 $S(u)$ はただ1つの極大値をもち、その値は正であることが示された。

解法2

(3)の別解（極大値の直接評価）

(3)の前半で $S'(\alpha) = 0$ を満たす $\alpha > 2$ がただ1つ存在し、$S(u)$ が $u = \alpha$ でただ1つの極大値をとることを示す過程は解法1と同じである。ここから、極大値 $S(\alpha)$ を $\alpha$ の式として整理する。 $S'(\alpha) = 0$ より、

$$\frac{2\alpha^2 - 3\alpha + 1}{2\alpha^2} - \frac{1}{2}\log \alpha = 0 \iff \log \alpha = \frac{(\alpha - 1)(2\alpha - 1)}{\alpha^2}$$

これを極大値 $S(\alpha)$ の式に代入する。

$$\begin{aligned} S(\alpha) &= \frac{3}{2}\alpha - \frac{1}{2\alpha} - 1 - \frac{1}{2}(\alpha + 3)\log \alpha \\ &= \frac{3\alpha^2 - 2\alpha - 1}{2\alpha} - \frac{\alpha + 3}{2} \cdot \frac{(\alpha - 1)(2\alpha - 1)}{\alpha^2} \\ &= \frac{\alpha(\alpha - 1)(3\alpha + 1) - (\alpha + 3)(\alpha - 1)(2\alpha - 1)}{2\alpha^2} \\ &= \frac{\alpha - 1}{2\alpha^2} \left\{ \alpha(3\alpha + 1) - (\alpha + 3)(2\alpha - 1) \right\} \\ &= \frac{\alpha - 1}{2\alpha^2} \left\{ 3\alpha^2 + \alpha - (2\alpha^2 + 5\alpha - 3) \right\} \\ &= \frac{\alpha - 1}{2\alpha^2} (\alpha^2 - 4\alpha + 3) \\ &= \frac{(\alpha - 1)^2(\alpha - 3)}{2\alpha^2} \end{aligned}$$

ここで、$S(\alpha) > 0$ であることを示すには、$\alpha > 3$ であることを示せばよい。 $\alpha$ は $u > 2$ において $S'(u) = 0$ を満たす唯一の解であり、(2)の増減から $S'(u)$ は $u \geqq 2$ で単調減少するため、$\alpha > 3$ となるための必要十分条件は $S'(3) > 0$ である。

$$S'(3) = \frac{2 \cdot 9 - 3 \cdot 3 + 1}{2 \cdot 9} - \frac{1}{2}\log 3 = \frac{5}{9} - \frac{1}{2}\log 3 = \frac{10 - 9\log 3}{18}$$

$10 - 9\log 3 > 0 \iff \frac{10}{9} > \log 3 \iff e^{10} > 3^9$ $e > 2.7$ として評価すると、 $2.7^3 = 19.683 > 19.6$ $2.7^{10} = (2.7^3)^3 \times 2.7 > 19.6^3 \times 2.7 \approx 7529 \times 2.7 > 20000$ 一方で、$3^9 = (3^3)^3 = 27^3 = 19683$ である。したがって $e^{10} > 3^9$ が成り立ち、$S'(3) > 0$ が示された。よって $\alpha > 3$ であり、$S(\alpha) = \frac{(\alpha - 1)^2(\alpha - 3)}{2\alpha^2} > 0$ となる。

解説

微積分を用いた面積計算と、関数の増減・極値の評価を問う総合問題である。 (1) では、曲線の凹凸から図形の上下関係を正しく判断することが求められる。個別に定積分を計算してもよいが、引き算を1つの積分にまとめてから計算すると手間が省ける。 (2) は、計算ミスなく第2次導関数まで求め、正確に増減表を書く作業である。 (3) は本問の山場である。導関数の極限と増減を組み合わせることで極大値がただ1つ存在することを示す論理構成は、難関大で頻出のパターンである。極大値が正であることを示す手法として、解法1のように「適当な値を代入して正になることを示す」アプローチは極めて実戦的である。解法2のように「極大値の式を整理し、$\alpha$ の範囲を絞る」アプローチも代数的な美しさがある。