数学3 接線・極限との複合問題 39 解説

方針・初手

(1) は定積分の計算問題である。被積分関数に含まれる $t \cos t$ については、多項式と三角関数の積であるため、部分積分法を用いて不定積分を計算する。

(2) は (1) で求めた関数 $S(x)$ について $x \to 0$ の極限を求める問題である。式の中に $\sin ax$ や $\cos ax$ が現れるため、三角関数の極限の基本公式 $\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$ と、その派生である $\lim_{\theta \to 0} \frac{1 - \cos \theta}{\theta^2} = \frac{1}{2}$ を利用できるように式を整理する。

解法1

(1)

まず、$t \cos t$ の不定積分を部分積分法を用いて計算する。

$$\begin{aligned} \int t \cos t dt &= \int t (\sin t)' dt \\ &= t \sin t - \int 1 \cdot \sin t dt \\ &= t \sin t + \cos t + C \quad (C \text{は積分定数}) \end{aligned}$$

これを用いて、$S(x)$ の定積分を計算する。

$$\begin{aligned} \int_0^{ax} (2\sin t - t \cos t) dt &= \left[ -2\cos t - (t \sin t + \cos t) \right]_0^{ax} \\ &= \left[ -3\cos t - t \sin t \right]_0^{ax} \\ &= (-3\cos ax - ax \sin ax) - (-3\cos 0 - 0) \\ &= 3 - 3\cos ax - ax \sin ax \end{aligned}$$

よって、$S(x)$ は次のように求められる。

$$S(x) = \frac{3 - 3\cos ax - ax \sin ax}{x^2}$$

(2)

(1) の結果を変形し、$x \to 0$ における極限の基本公式が使える形を作る。

$$\begin{aligned} S(x) &= \frac{3(1 - \cos ax) - ax \sin ax}{x^2} \\ &= \frac{3(1 - \cos ax)}{x^2} - \frac{ax \sin ax}{x^2} \\ &= 3a^2 \cdot \frac{1 - \cos ax}{(ax)^2} - a^2 \cdot \frac{\sin ax}{ax} \end{aligned}$$

ここで、$x \to 0$ のとき $a \neq 0$ より $ax \to 0$ である。第一項の分数の極限は次のように計算できる。

$$\begin{aligned} \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos ax}{(ax)^2} &= \lim_{x \to 0} \frac{(1 - \cos ax)(1 + \cos ax)}{(ax)^2 (1 + \cos ax)} \\ &= \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos^2 ax}{(ax)^2 (1 + \cos ax)} \\ &= \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin ax}{ax} \right)^2 \frac{1}{1 + \cos ax} \\ &= 1^2 \cdot \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2} \end{aligned}$$

また、第二項の分数の極限は基本公式そのものである。

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{ax} = 1$$

したがって、求める極限は次のようになる。

$$\begin{aligned} \lim_{x \to 0} S(x) &= 3a^2 \cdot \frac{1}{2} - a^2 \cdot 1 \\ &= \frac{3}{2}a^2 - a^2 \\ &= \frac{1}{2}a^2 \end{aligned}$$

解説

微積分と極限の基本的な計算力を問う標準的な問題である。

(1) の部分積分では、「微分して簡単になる関数」と「積分しやすい関数」を見極めることが重要である。ここでは $t$ を微分する側、$\cos t$ を積分する側に選ぶことで、積分計算を完遂できる。符号のミスにも注意したい。

(2) の極限計算では、$x \to 0$ の不定形 $\frac{0}{0}$ を解消するために $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ を用いるのが鉄則である。また、極限計算において $\frac{1 - \cos \theta}{\theta^2} \to \frac{1}{2} \ (\theta \to 0)$ という結果は非常によく現れるため、分母分子に $1 + \cos \theta$ を掛けて $\sin^2 \theta$ を作り出す式変形は、いつでもスムーズに行えるようにしておく必要がある。