数学3 接線・極限との複合問題 38 解説

方針・初手

点 $(p_n, q_n)$ が曲線 $y=\log(nx)$ と円 $\left(x-\frac{1}{n}\right)^2+y^2=1$ の交点であることを式で表し、そこから得られる条件を組み合わせる。円の上半分における $y$ 座標の最大値が $1$ であることに着目し、対数関数の単調増加性を利用して交点の $x$ 座標 $p_n$ の上限を絞り込むことが不等式証明の鍵となる。微積分分野の極限では、はさみうちの原理を適切に用いること、積分計算では部分積分や逆関数を用いた面積計算の見方を利用することが基本となる。

解法1

(1)

点 $(p_n, q_n)$ は第1象限にある2曲線の交点であるから、$p_n > 0, q_n > 0$ であり、次の2つの等式を満たす。

$$q_n = \log(np_n) \quad \cdots \text{①}$$

$$\left(p_n - \frac{1}{n}\right)^2 + q_n^2 = 1 \quad \cdots \text{②}$$

②より $\left(p_n - \frac{1}{n}\right)^2 = 1 - q_n^2$ である。実数の2乗は $0$ 以上であるから、

$$1 - q_n^2 \geqq 0 \iff q_n^2 \leqq 1$$

$q_n > 0$ であるから、

$$0 < q_n \leqq 1$$

となる。これと①より、

$$0 < \log(np_n) \leqq 1$$

自然対数の底 $e$ は $1$ より大きいので、単調性より

$$1 < np_n \leqq e \iff \frac{1}{n} < p_n \leqq \frac{e}{n}$$

辺々から $\frac{1}{n}$ を引いて、

$$0 < p_n - \frac{1}{n} \leqq \frac{e-1}{n}$$

各辺は正であるから、2乗しても不等号の向きは変わらず、

$$0 < \left(p_n - \frac{1}{n}\right)^2 \leqq \frac{(e-1)^2}{n^2}$$

ここで $\left(p_n - \frac{1}{n}\right)^2 = 1 - q_n^2$ を代入すると、

$$0 < 1 - q_n^2 \leqq \frac{(e-1)^2}{n^2}$$

ゆえに、不等式 $1 - q_n^2 \leqq \frac{(e-1)^2}{n^2}$ が示された。

続いて、$\lim_{n\to\infty} \frac{(e-1)^2}{n^2} = 0$ であるから、はさみうちの原理より

$$\lim_{n\to\infty} (1 - q_n^2) = 0 \iff \lim_{n\to\infty} q_n^2 = 1$$

$q_n > 0$ であるから、$\lim_{n\to\infty} q_n = 1$ が成り立つ。

(2)

求める定積分 $S_n$ は、部分積分法を用いて次のように計算できる。

$$\begin{aligned} S_n &= \int_{\frac{1}{n}}^{p_n} \log(nx) dx \\ &= \int_{\frac{1}{n}}^{p_n} (x)' \log(nx) dx \\ &= \left[ x \log(nx) \right]_{\frac{1}{n}}^{p_n} - \int_{\frac{1}{n}}^{p_n} x \cdot \frac{n}{nx} dx \\ &= \left( p_n \log(np_n) - \frac{1}{n} \log 1 \right) - \int_{\frac{1}{n}}^{p_n} 1 dx \\ &= p_n \log(np_n) - \left[ x \right]_{\frac{1}{n}}^{p_n} \\ &= p_n \log(np_n) - \left( p_n - \frac{1}{n} \right) \\ &= p_n \log(np_n) - p_n + \frac{1}{n} \end{aligned}$$

(3)

(2) の結果より、

$$nS_n = n \left( p_n \log(np_n) - p_n + \frac{1}{n} \right) = np_n \log(np_n) - np_n + 1$$

①より $\log(np_n) = q_n \iff np_n = e^{q_n}$ であるから、これを代入して $q_n$ の式にまとめる。

$$\begin{aligned} nS_n &= e^{q_n} \cdot q_n - e^{q_n} + 1 \\ &= e^{q_n}(q_n - 1) + 1 \end{aligned}$$

(1) より $\lim_{n\to\infty} q_n = 1$ であり、指数関数 $e^x$ は連続関数であるから、極限をとると

$$\begin{aligned} \lim_{n\to\infty} nS_n &= \lim_{n\to\infty} \{ e^{q_n}(q_n - 1) + 1 \} \\ &= e^1 \cdot (1 - 1) + 1 \\ &= 1 \end{aligned}$$

解法2

(2) の別解：$y$ 軸方向への積分

$S_n = \int_{\frac{1}{n}}^{p_n} \log(nx) dx$ は、曲線 $y = \log(nx)$ と $x$ 軸、および直線 $x=p_n$ で囲まれた部分の面積を表す。

$y = \log(nx)$ を $x$ について解くと、$x = \frac{1}{n} e^y$ となる。図形的な意味を考え、$y$ 軸方向に積分して長方形の面積から引くことで定積分を計算できる。交点の $y$ 座標は $q_n$ であるから、

$$\begin{aligned} S_n &= p_n q_n - \int_{0}^{q_n} \frac{1}{n} e^y dy \\ &= p_n q_n - \frac{1}{n} \left[ e^y \right]_{0}^{q_n} \\ &= p_n q_n - \frac{1}{n} (e^{q_n} - 1) \end{aligned}$$

ここで $q_n = \log(np_n) \iff e^{q_n} = np_n$ であることを用いると、

$$\begin{aligned} S_n &= p_n \log(np_n) - \frac{1}{n} (np_n - 1) \\ &= p_n \log(np_n) - p_n + \frac{1}{n} \end{aligned}$$

解説

(1) で示すべき不等式 $1 - q_n^2 \leqq \frac{(e-1)^2}{n^2}$ を見たときに、左辺が円の方程式を変形して得られる $\left( p_n - \frac{1}{n} \right)^2$ に等しいことに気づくことが第一歩である。これにより、交点の $x$ 座標 $p_n$ の範囲を絞る問題へと帰着される。交点の $y$ 座標が円の存在範囲から $q_n \leqq 1$ に制限されるため、$np_n \leqq e$ が導かれるという論理の流れが自然である。 (2) は対数関数の積分としては基本的だが、解法2のように $y$ 軸方向への積分（逆関数の利用）を用いると、$e^{q_n}$ の形がそのまま現れ、(3) で極限を求める際の見通しがさらに良くなる。