数学3 接線・極限との複合 問題 50 解説

方針・初手

まず $f'(x)$ と $f''(x)$ を求め、増減・凹凸・極値・変曲点を調べる。

接線の傾きは $f'(x)$ であるから、(2)では $f'(x)$ の最小値を調べればよい。

(3)では、求めた接線 $l$ と曲線 $C$、および $y$ 軸で囲まれる部分を、$0\leq x\leq 2$ における上下関係から定積分で求める。

解法1

関数は

$$ f(x)=xe^{2-x} $$

である。

まず導関数を求める。

$$ f'(x)=e^{2-x}-xe^{2-x}=(1-x)e^{2-x} $$

また、

$$ f''(x)=-(e^{2-x})-(1-x)e^{2-x}=(x-2)e^{2-x} $$

である。ここで $e^{2-x}>0$ より、$f'(x)$ の符号は $1-x$ の符号で決まる。

したがって、

$$ \begin{cases} f'(x)>0 & (x<1),\\ f'(x)=0 & (x=1),\\ f'(x)<0 & (x>1) \end{cases} $$

であるから、$x=1$ で極大となる。極大値は

$$ f(1)=e $$

である。

また、$f''(x)$ の符号は $x-2$ の符号で決まるので、

$$ \begin{cases} f''(x)<0 & (x<2),\\ f''(x)=0 & (x=2),\\ f''(x)>0 & (x>2) \end{cases} $$

である。したがって、$x=2$ で変曲点をもち、その座標は

$$ (2,f(2))=(2,2) $$

である。

さらに、

$$ f(0)=0 $$

より、曲線は原点を通る。また、

$$ \lim_{x\to\infty}xe^{2-x}=0 $$

であるから、$x\to\infty$ で $x$ 軸に近づく。

一方、$x\to-\infty$ のとき、$e^{2-x}\to\infty$ かつ $x<0$ であるから、

$$ \lim_{x\to-\infty}xe^{2-x}=-\infty $$

である。

よって、曲線 $C$ の概形は次の特徴をもつ。

• 原点 $(0,0)$ を通る。
• $x<1$ で増加し、$x>1$ で減少する。
• $(1,e)$ で極大となる。
• $x<2$ で上に凸、$x>2$ で下に凸となり、$(2,2)$ が変曲点である。
• $x\to\infty$ で $x$ 軸に近づく。

次に、接線の傾きの最小値を求める。

接線の傾きは

$$ f'(x)=(1-x)e^{2-x} $$

である。これを $g(x)$ とおく。

$$ g(x)=(1-x)e^{2-x} $$

とすると、

$$ g'(x)=(x-2)e^{2-x} $$

である。$e^{2-x}>0$ より、

$$ \begin{cases} g'(x)<0 & (x<2),\\ g'(x)=0 & (x=2),\\ g'(x)>0 & (x>2) \end{cases} $$

であるから、$g(x)$ は $x=2$ で最小となる。

このときの傾きは

$$ g(2)=(1-2)e^0=-1 $$

である。

接点は

$$ (2,f(2))=(2,2) $$

であるから、求める接線 $l$ は

$$ y-2=-(x-2) $$

すなわち

$$ l:\ y=-x+4 $$

である。

最後に、曲線 $C$、直線 $l$、$y$ 軸で囲まれた図形の面積を求める。

直線 $l$ は

$$ y=-x+4 $$

であり、曲線 $C$ は

$$ y=xe^{2-x} $$

である。

$y$ 軸は $x=0$ であり、接点は $x=2$ である。したがって、囲まれた部分は $0\leq x\leq 2$ にある。

この範囲で直線と曲線の上下関係を確認する。差を

$$ h(x)=(-x+4)-xe^{2-x} $$

とおくと、

$$ h(2)=0 $$

であり、また $l$ は $x=2$ における接線であるから、$x=2$ で曲線と接する。

実際に $0\leq x<2$ では直線の方が上にあるので、面積 $S$ は

$$ S=\int_0^2{(-x+4)-xe^{2-x}},dx $$

である。

これを計算する。

$$ S=\int_0^2(4-x),dx-\int_0^2xe^{2-x},dx $$

まず、

$$ \int_0^2(4-x),dx=\left[4x-\frac{x^2}{2}\right]_0^2=8-2=6 $$

である。

次に、

$$ \int_0^2xe^{2-x},dx=e^2\int_0^2xe^{-x},dx $$

であり、

$$ \int xe^{-x},dx=-(x+1)e^{-x} $$

だから、

$$ \int_0^2xe^{-x},dx=\left[-(x+1)e^{-x}\right]_0^2=1-3e^{-2} $$

よって、

$$ \int_0^2xe^{2-x},dx=e^2(1-3e^{-2})=e^2-3 $$

である。

したがって、

$$ S=6-(e^2-3)=9-e^2 $$

となる。

解説

この問題の中心は、「接線の傾き」と「導関数の値」を同一視することである。

(2)では、接線そのものをいきなり求めるのではなく、まず傾き $f'(x)$ の最小値を調べる。$f'(x)$ をさらに微分することで、傾きが最小になる接点 $x=2$ が決まる。

(3)では、接線 $l$ が $x=2$ で曲線に接し、$y$ 軸が $x=0$ であることから、面積は $0\leq x\leq 2$ の範囲の「直線 $l$ と曲線 $C$ の差」の積分として求める。接線が上側、曲線が下側になることを確認してから積分式を立てる点が重要である。

答え

(1)

曲線 $C$ は、原点 $(0,0)$ を通り、$x<1$ で増加、$x>1$ で減少し、$(1,e)$ で極大となる。また、$(2,2)$ が変曲点であり、$x\to\infty$ で $x$ 軸に近づく。

(2)

$$ l:\ y=-x+4 $$

(3)

$$ 9-e^2 $$