数学3 接線・極限との複合 問題 49 解説

方針・初手

曲線 $C$ と直線 $l$ の差は

$$ 2x-\left(2x-xe^{-x}\right)=xe^{-x} $$

である。したがって、面積 $S(a)$ は $x=p$ から $x=a$ まで $xe^{-x}$ を積分すればよい。まずは接線の方程式を求め、その $x$ 切片から $p$ を決める。

解法1

曲線 $C$ は

$$ y=2x-xe^{-x} $$

である。これを微分すると、

$$ y'=2-{xe^{-x}}'=2-(1-x)e^{-x}=2+(x-1)e^{-x} $$

となる。

点 $A$ は $x=a$ に対応する曲線 $C$ 上の点だから、

$$ A=\left(a,\ 2a-ae^{-a}\right) $$

である。また、点 $A$ における接線の傾きは

$$ 2+(a-1)e^{-a} $$

である。

よって接線の方程式は

$$ y-\left(2a-ae^{-a}\right)=\left\{2+(a-1)e^{-a}\right\}(x-a) $$

である。これを整理すると、

$$ y=\left\{2+(a-1)e^{-a}\right\}x-a^2e^{-a} $$

となる。

次に、この接線と $x$ 軸との交点を $P$ とする。$P$ の $x$ 座標を $p$ とすると、接線の方程式で $y=0$ とおけばよいから、

$$ 0=\left\{2+(a-1)e^{-a}\right\}p-a^2e^{-a} $$

より、

$$ p=\frac{a^2e^{-a}}{2+(a-1)e^{-a}} $$

である。

ここで、$a>1$ より $p>0$ であり、また

$$ p<a $$

も成り立つ。したがって、$p\leqq x\leqq a$ において $x>0$ であるから、直線 $l$ は曲線 $C$ より上にある。

点 $B$ は直線 $l:y=2x$ 上で $x=a$ に対応する点なので、

$$ B=(a,2a) $$

である。したがって、

$$ AB=2a-\left(2a-ae^{-a}\right)=ae^{-a} $$

である。

三角形 $ABP$ において、$AB$ は直線 $x=a$ 上の縦の線分である。点 $P=(p,0)$ から直線 $x=a$ までの距離は $a-p$ であるから、

$$ T(a)=\frac{1}{2}\cdot ae^{-a}\cdot (a-p) $$

である。

ここで

$$ a-p =a-\frac{a^2e^{-a}}{2+(a-1)e^{-a}} =\frac{a(2-e^{-a})}{2+(a-1)e^{-a}} $$

だから、

$$ T(a)=\frac{a^2e^{-a}(2-e^{-a})}{2{2+(a-1)e^{-a}}} $$

となる。

次に、面積 $S(a)$ を求める。直線 $l$ と曲線 $C$ の上下差は

$$ 2x-\left(2x-xe^{-x}\right)=xe^{-x} $$

である。よって、

$$ S(a)=\int_p^a xe^{-x},dx $$

である。

部分積分より、

$$ \int xe^{-x},dx=-(x+1)e^{-x} $$

であるから、

$$ S(a)=\left[-(x+1)e^{-x}\right]_p^a $$

となる。したがって、

$$ S(a)=(p+1)e^{-p}-(a+1)e^{-a} $$

である。

ここに

$$ p=\frac{a^2e^{-a}}{2+(a-1)e^{-a}} $$

を代入すると、

$$ S(a)=\left(1+\frac{a^2e^{-a}}{2+(a-1)e^{-a}}\right) \exp\left(-\frac{a^2e^{-a}}{2+(a-1)e^{-a}}\right) -(a+1)e^{-a} $$

である。

最後に極限を求める。

$$ p=\frac{a^2e^{-a}}{2+(a-1)e^{-a}} $$

において、$a\to\infty$ とすると

$$ a^2e^{-a}\to 0,\qquad (a-1)e^{-a}\to 0 $$

であるから、

$$ p\to 0 $$

である。

したがって、

$$ S(a)=(p+1)e^{-p}-(a+1)e^{-a}\to 1 $$

である。一方、

$$ T(a)=\frac{a^2e^{-a}(2-e^{-a})}{2{2+(a-1)e^{-a}}} $$

であり、

$$ a^2e^{-a}\to 0 $$

だから、

$$ T(a)\to 0 $$

である。また $T(a)>0$ なので、

$$ \frac{S(a)}{T(a)}\to+\infty $$

である。

解説

この問題の中心は、接線の $x$ 切片 $p$ を正確に求めたうえで、面積を積分で処理する点にある。

直線 $l:y=2x$ と曲線 $C:y=2x-xe^{-x}$ の差が $xe^{-x}$ になるため、面積 $S(a)$ の計算自体は単純な定積分になる。ただし、積分区間の左端が接線から決まる $p$ であるため、先に接線の方程式を整理しておく必要がある。

また、$a\to\infty$ のとき $p\to 0$ である点が重要である。これにより $S(a)$ は $1$ に近づく一方、三角形 $ABP$ の面積 $T(a)$ は $0$ に近づくため、比は有限値に収束せず $+\infty$ に発散する。

答え

(1)

$$ y=\left\{2+(a-1)e^{-a}\right\}x-a^2e^{-a} $$

(2)

$$ p=\frac{a^2e^{-a}}{2+(a-1)e^{-a}} $$

(3)(ア)

$$ T(a)=\frac{a^2e^{-a}(2-e^{-a})}{2{2+(a-1)e^{-a}}} $$

(3)(イ)

$$ S(a)=\left(1+\frac{a^2e^{-a}}{2+(a-1)e^{-a}}\right) \exp\left(-\frac{a^2e^{-a}}{2+(a-1)e^{-a}}\right) -(a+1)e^{-a} $$

(3)(ウ)

$$ \lim_{a\to\infty}\frac{S(a)}{T(a)}=+\infty $$