数学3 接線・極限との複合 問題 55 解説

方針・初手

$f(x)$ は指数関数の積であるから、まず指数部分をまとめる。

$$ f(x)=e^{2x-1}e^{-x^{2n}}=e^{2x-1-x^{2n}} $$

増減は $f'(x)$ の符号で決まり、$f(x)>0$ であるため、指数部分の微分係数の符号だけを調べればよい。

解法1

まず導関数を求める。

$$ \begin{aligned} f'(x) &=e^{2x-1-x^{2n}}\left(2-2nx^{2n-1}\right)\\ &=2\left(1-nx^{2n-1}\right)e^{2x-1-x^{2n}}. \end{aligned} $$

よって

$$ f'(x)=2\left(1-nx^{2n-1}\right)f(x) $$

である。

ここで $f(x)>0$ なので、$f'(x)$ の符号は $1-nx^{2n-1}$ の符号で決まる。

$$ 1-nx^{2n-1}=0 $$

より

$$ x^{2n-1}=\frac{1}{n} $$

である。$2n-1$ は奇数であるから、この方程式の実数解はただ1つで、

$$ x=n^{-\frac{1}{2n-1}} $$

である。これを

$$ b_n=n^{-\frac{1}{2n-1}} $$

とおく。

$x^{2n-1}$ は単調増加であるから、

$$ x<b_n \quad \text{で} \quad 1-nx^{2n-1}>0, $$

$$ x>b_n \quad \text{で} \quad 1-nx^{2n-1}<0 $$

となる。

したがって、$-2\leqq x\leqq 2$ における増減表は次のようになる。

$x$	$-2$	$\cdots$	$b_n$	$\cdots$	$2$
$f'(x)$		$+$	$0$	$-$
$f(x)$	$e^{-5-2^{2n}}$	$\nearrow$	最大	$\searrow$	$e^{3-2^{2n}}$

最大値は $x=b_n$ のときである。

$$ b_n^{2n-1}=\frac{1}{n} $$

より

$$ b_n^{2n}=\frac{b_n}{n} $$

である。したがって最大値は

$$ \begin{aligned} f(b_n) &=e^{2b_n-1-b_n^{2n}}\\ &=e^{2b_n-1-\frac{b_n}{n}}\\ &=e^{\left(2-\frac{1}{n}\right)b_n-1}. \end{aligned} $$

$b_n=n^{-\frac{1}{2n-1}}$ だから、

$$ f(b_n)=e^{\left(2-\frac{1}{n}\right)n^{-\frac{1}{2n-1}}-1} $$

である。

次に最小値を調べる。増減表より、最小値は端点 $x=-2,2$ のいずれかである。

$$ f(-2)=e^{-5-2^{2n}}, $$

$$ f(2)=e^{3-2^{2n}}. $$

指数部分を比較すると

$$ 3-2^{2n}>-5-2^{2n} $$

であるから、

$$ f(2)>f(-2) $$

である。よって最小値は

$$ f(-2)=e^{-5-2^{2n}} $$

である。

次に、$a_n=n^{-\frac{1}{2n}}$ とする。

求める極限は

$$ \lim_{n\to\infty} n^2\int_0^{a_n} f(x),dx $$

である。

まず $n\geqq 2$ に対して

$$ a_n=n^{-\frac{1}{2n}}\geqq 2^{-\frac14}>\frac12 $$

である。したがって、区間 $[0,\frac12]$ は $[0,a_n]$ に含まれる。

また $0\leqq x\leqq \frac12$ では

$$ x^{2n}\leqq \left(\frac12\right)^{2n}\leqq \frac{1}{16} $$

であるから、

$$ f(x)=e^{2x-1-x^{2n}}\geqq e^{-1-\frac{1}{16}} $$

となる。したがって

$$ \begin{aligned} \int_0^{a_n} f(x),dx &\geqq \int_0^{1/2} f(x),dx\\ &\geqq \int_0^{1/2} e^{-1-\frac{1}{16}},dx\\ &=\frac12 e^{-\frac{17}{16}}. \end{aligned} $$

よって

$$ n^2\int_0^{a_n} f(x),dx \geqq \frac12 e^{-\frac{17}{16}}n^2 $$

である。右辺は $n\to\infty$ で $+\infty$ に発散する。

また $f(x)>0$ であるから、求める極限は

$$ +\infty $$

である。

解説

この問題では、$f(x)$ を

$$ f(x)=e^{2x-1-x^{2n}} $$

とまとめるのが初手である。指数関数は常に正なので、増減は指数部分の微分

$$ 2-2nx^{2n-1} $$

の符号だけで判定できる。

最大値では、極値をとる点 $b_n$ が

$$ b_n^{2n-1}=\frac1n $$

を満たすことを使い、$b_n^{2n}$ を $\frac{b_n}{n}$ に直すのが計算の整理点である。

最後の極限では、積分値そのものが正の定数以上になることを示せば十分である。したがって、$n^2$ を掛けると有限値には収束せず、$+\infty$ に発散する。

答え

(1)

$$ f'(x)=2\left(1-nx^{2n-1}\right)e^{2x-1-x^{2n}} $$

(2)

$$ b_n=n^{-\frac{1}{2n-1}} $$

とすると、$f(x)$ は $[-2,b_n]$ で増加し、$[b_n,2]$ で減少する。

最大値は

$$ e^{\left(2-\frac{1}{n}\right)n^{-\frac{1}{2n-1}}-1} $$

最小値は

$$ e^{-5-2^{2n}} $$

である。

(3)

$$ \lim_{n\to\infty} n^2\int_0^{a_n} f(x),dx=+\infty $$