数学3 接線・極限との複合 問題 59 解説

方針・初手

関数

$$ f(x)=x-\frac{1}{x} $$

は $x=0$ で定義されない。まず極限と導関数を調べ、グラフでは $x=0$ での挙動と、$|x|$ が大きいときの直線 $y=x$ との差を見る。

面積は、曲線と水平線の交点を求めてから、$x$ の範囲を分けて積分する。

解法1

(1)

$x\to +0$ のとき、$x\to 0$ であり、

$$ -\frac{1}{x}\to -\infty $$

である。したがって

$$ \begin{aligned} \lim_{x\to +0}f(x) &= \lim_{x\to +0}\left(x-\frac{1}{x}\right) \\ -\infty \end{aligned} $$

である。

(2)

導関数を求めると、

$$ \begin{aligned} f'(x) &= 1+\frac{1}{x^2} \end{aligned} $$

である。さらに、

$$ \begin{aligned} f''(x) &= -\frac{2}{x^3} \end{aligned} $$

である。

ここで、任意の $x\neq 0$ に対して

$$ f'(x)=1+\frac{1}{x^2}>0 $$

であるから、$f(x)$ は $(-\infty,0)$ と $(0,\infty)$ のそれぞれで単調増加である。

また、

$$ f''(x)=-\frac{2}{x^3} $$

より、$x<0$ では $f''(x)>0$、$x>0$ では $f''(x)<0$ である。したがって、$x<0$ の部分は下に凸、$x>0$ の部分は上に凸である。

漸近線について調べる。まず、

$$ \lim_{x\to -0}\left(x-\frac{1}{x}\right)=+\infty,\qquad \lim_{x\to +0}\left(x-\frac{1}{x}\right)=-\infty $$

であるから、直線

$$ x=0 $$

は漸近線である。

また、

$$ f(x)-x=-\frac{1}{x}\to 0\qquad (x\to \pm\infty) $$

であるから、直線

$$ y=x $$

も漸近線である。

さらに、$f(x)=0$ とすると、

$$ x-\frac{1}{x}=0 $$

より、

$$ x^2-1=0 $$

となるので、

$$ x=\pm 1 $$

である。したがって、グラフは $(-1,0)$、$(1,0)$ を通る。

以上より、グラフは次のような概形である。左側の枝は $x=0$ に近づくと $+\infty$ に発散し、$x\to-\infty$ では直線 $y=x$ に上側から近づく。右側の枝は $x=0$ に近づくと $-\infty$ に発散し、$x\to+\infty$ では直線 $y=x$ に下側から近づく。

(3)

$$ c=\alpha-\frac{1}{\alpha} $$

とおく。$\alpha>1$ より $c>0$ である。

まず、曲線 $y=f(x)$ と直線 $y=0$ の交点を求める。

$$ x-\frac{1}{x}=0 $$

より、

$$ x=\pm 1 $$

である。

次に、曲線 $y=f(x)$ と直線 $y=c$ の交点を求める。

$$ \begin{aligned} x-\frac{1}{x} &= \alpha-\frac{1}{\alpha} \end{aligned} $$

である。$x=\alpha$ は明らかに解であり、また $x=-\dfrac{1}{\alpha}$ も

$$ \begin{aligned} -\frac{1}{\alpha}-\frac{1}{-\frac{1}{\alpha}} &= -\frac{1}{\alpha}+\alpha \\ \alpha-\frac{1}{\alpha} \end{aligned} $$

を満たす。したがって交点の $x$ 座標は

$$ x=\alpha,\qquad x=-\frac{1}{\alpha} $$

である。

よって、囲まれた図形の面積は、$x$ の範囲を

$$ -1\leq x\leq -\frac{1}{\alpha},\qquad -\frac{1}{\alpha}\leq x\leq 1,\qquad 1\leq x\leq \alpha $$

に分けて計算する。

まず、

$$ \begin{aligned} \int \left(x-\frac{1}{x}\right),dx &= \frac{x^2}{2}-\log|x| \end{aligned} $$

である。

したがって、面積 $S(\alpha)$ は

$$ \begin{aligned} S(\alpha) &= \int_{-1}^{-\frac{1}{\alpha}} \left(x-\frac{1}{x}\right),dx + \int_{-\frac{1}{\alpha}}^{1} \left(\alpha-\frac{1}{\alpha}\right),dx \\ &\qquad + \int_{1}^{\alpha} \left\{ \left(\alpha-\frac{1}{\alpha}\right) &= \left(x-\frac{1}{x}\right) \right\},dx \end{aligned} $$

となる。

それぞれ計算する。

$$ \begin{aligned} \int_{-1}^{-\frac{1}{\alpha}} \left(x-\frac{1}{x}\right),dx &= \left[ \frac{x^2}{2}-\log|x| \right]_{-1}^{-\frac{1}{\alpha}} \\ &= \frac{1}{2\alpha^2}+\log\alpha-\frac{1}{2} \end{aligned} $$

また、

$$ \begin{aligned} \int_{-\frac{1}{\alpha}}^{1} \left(\alpha-\frac{1}{\alpha}\right),dx &= \left(\alpha-\frac{1}{\alpha}\right) \left(1+\frac{1}{\alpha}\right) \\ &= \alpha+1-\frac{1}{\alpha}-\frac{1}{\alpha^2} \end{aligned} $$

さらに、

$$ \begin{aligned} \int_{1}^{\alpha} \left\{ \left(\alpha-\frac{1}{\alpha}\right) &= \left(x-\frac{1}{x}\right) \right\},dx &= \left(\alpha-\frac{1}{\alpha}\right)(\alpha-1) &= \left[ \frac{x^2}{2}-\log x \right]_{1}^{\alpha} \\ &= \frac{\alpha^2}{2}-\alpha-\frac{1}{2} +\frac{1}{\alpha} +\log\alpha \end{aligned} $$

よって、これらを加えて

$$ \begin{aligned} S(\alpha) &= \left( \frac{1}{2\alpha^2}+\log\alpha-\frac{1}{2} \right) + \left( \alpha+1-\frac{1}{\alpha}-\frac{1}{\alpha^2} \right) \\ &\qquad + \left( \frac{\alpha^2}{2}-\alpha-\frac{1}{2} +\frac{1}{\alpha} +\log\alpha \right) \\ &= \frac{1}{2}\left(\alpha^2-\frac{1}{\alpha^2}\right) + 2\log\alpha \end{aligned} $$

である。

(4)

(3)より、

$$ \begin{aligned} S(\alpha) &= \frac{1}{2}\left(\alpha^2-\frac{1}{\alpha^2}\right) + 2\log\alpha \end{aligned} $$

である。

$\alpha\to 1+0$ のとき $S(\alpha)\to 0$ であるから、求める極限は $S'(1)$ に等しい。

$$ \begin{aligned} S'(\alpha) &= \alpha+\frac{1}{\alpha^3}+\frac{2}{\alpha} \end{aligned} $$

である。したがって、

$$ \begin{aligned} \lim_{\alpha\to 1+0}\frac{S(\alpha)}{\alpha-1} &= S'(1) \\ 1+1+2 \\ 4 \end{aligned} $$

である。

解説

この問題では、$x=0$ で定義されないことと、$f(x)-x=-\dfrac{1}{x}$ から斜漸近線 $y=x$ が出ることが重要である。

面積計算では、曲線と水平線 $y=0$、$y=\alpha-\dfrac{1}{\alpha}$ の交点を先に求めると、積分区間が自然に決まる。特に $y=\alpha-\dfrac{1}{\alpha}$ との交点が

$$ x=\alpha,\qquad x=-\frac{1}{\alpha} $$

となる点を見落とさないことが大切である。

答え

(1)

$$ \lim_{x\to +0}f(x)=-\infty $$

(2)

$$ f'(x)=1+\frac{1}{x^2},\qquad f''(x)=-\frac{2}{x^3} $$

漸近線は

$$ x=0,\qquad y=x $$

である。グラフは $(-1,0)$、$(1,0)$ を通り、$(-\infty,0)$ と $(0,\infty)$ のそれぞれで単調増加する。

(3)

$$ \begin{aligned} S(\alpha) &= \frac{1}{2}\left(\alpha^2-\frac{1}{\alpha^2}\right) + 2\log\alpha \end{aligned} $$

(4)

$$ \lim_{\alpha\to 1+0}\frac{S(\alpha)}{\alpha-1}=4 $$