数学3 接線・極限との複合 問題 58 解説

方針・初手

接点の $x$ 座標を $t$ とおき、接線が原点を通る条件を立てる。接点が決まれば接線の方程式が出る。

面積は、$y$ 軸から接点までの範囲で「曲線 $C$ − 接線 $\ell$」を積分すればよい。

解法1

曲線を

$$ f(x)=\frac{e^{a(x+2)}}{a} $$

とおく。ただし $a>0$ である。

まず導関数は

$$ f'(x)=e^{a(x+2)} $$

である。

接点の $x$ 座標を $t$ とすると、接点は

$$ \left(t,\frac{e^{a(t+2)}}{a}\right) $$

であり、その点における接線の傾きは

$$ f'(t)=e^{a(t+2)} $$

である。

したがって接線の方程式は

$$ \begin{aligned} y-\frac{e^{a(t+2)}}{a} &= e^{a(t+2)}(x-t) \end{aligned} $$

である。この接線が原点 $(0,0)$ を通るので、

$$ \begin{aligned} 0-\frac{e^{a(t+2)}}{a} &= e^{a(t+2)}(0-t) \end{aligned} $$

が成り立つ。両辺を $e^{a(t+2)}$ で割ると、

$$ -\frac{1}{a}=-t $$

より、

$$ t=\frac{1}{a} $$

である。

よって接点は

$$ \left(\frac{1}{a},\frac{e^{2a+1}}{a}\right) $$

であり、接線の傾きは

$$ e^{a\left(\frac{1}{a}+2\right)}=e^{2a+1} $$

である。接線は原点を通るから、

$$ \ell:y=e^{2a+1}x $$

である。

次に面積を求める。曲線 $C$ は下に凸であり、接線は接点以外では曲線の下側にある。したがって、求める面積 $S$ は

$$ S=\int_0^{1/a}\left(\frac{e^{a(x+2)}}{a}-e^{2a+1}x\right),dx $$

である。

これを計算する。

$$ \begin{aligned} \int_0^{1/a}\frac{e^{a(x+2)}}{a},dx &= \left[\frac{e^{a(x+2)}}{a^2}\right]_0^{1/a} \\ \frac{e^{2a+1}-e^{2a}}{a^2} \end{aligned} $$

また、

$$ \begin{aligned} \int_0^{1/a}e^{2a+1}x,dx &= e^{2a+1}\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^{1/a} \\ \frac{e^{2a+1}}{2a^2} \end{aligned} $$

である。よって

$$ \begin{aligned} S &= \frac{e^{2a+1}-e^{2a}}{a^2} &= \frac{e^{2a+1}}{2a^2} \\ &= \frac{e^{2a}}{a^2}\left(e-1-\frac{e}{2}\right) \\ &= \frac{e^{2a}}{a^2}\left(\frac{e}{2}-1\right) \end{aligned} $$

となる。

ここで

$$ \frac{e}{2}-1>0 $$

であるから、$S$ を最小にするには

$$ \frac{e^{2a}}{a^2} $$

を最小にすればよい。

$$ g(a)=\frac{e^{2a}}{a^2} $$

とおくと、

$$ \log g(a)=2a-2\log a $$

である。したがって

$$ \begin{aligned} \frac{g'(a)}{g(a)} &= 2-\frac{2}{a} \\ \frac{2(a-1)}{a} \end{aligned} $$

である。

$a>0$ より、$0<a<1$ で $g'(a)<0$、$a>1$ で $g'(a)>0$ となる。よって $g(a)$ は $a=1$ で最小となる。

したがって $S$ を最小にする $a$ の値は

$$ a=1 $$

であり、そのとき

$$ \begin{aligned} S_{\min} &= \frac{e^2}{1^2}\left(\frac{e}{2}-1\right) \\ \frac{e^3}{2}-e^2 \\ \frac{e^2(e-2)}{2} \end{aligned} $$

である。

解説

接線が原点を通る条件は、接点を $t$ とおいて

$$ f(t)=t f'(t) $$

と書ける。この形にすると計算が一気に簡単になる。

面積では、接線の接点が $x=1/a$ であり、もう一つの境界が $y$ 軸、すなわち $x=0$ であることに注意する。したがって積分区間は $0$ から $1/a$ までである。

最小値の計算では、$S$ のうち正の定数因子 $\frac{e}{2}-1$ は最小化に影響しない。指数と分母の形から、対数微分を使うのが最も処理しやすい。

答え

(1)

$$ \ell:y=e^{2a+1}x $$

(2)

$$ S=\frac{e^{2a}}{a^2}\left(\frac{e}{2}-1\right) $$

(3)

$$ a=1 $$

のとき $S$ は最小となり、最小値は

$$ S_{\min}=\frac{e^2(e-2)}{2} $$