数学3 接線・極限との複合 問題 66 解説

方針・初手

直線 $L:y=ax$ が曲線 $C:y=x^3e^{-2x^2}$ と接するためには，曲線上の点における接線が原点を通る必要がある。

まず一般の点 $x=p$ における接線を求め，その接線が $y=ax$ の形になる条件を調べる。

解法1

曲線

$$ y=x^3e^{-2x^2} $$

について，

$$ \begin{aligned} y' &=3x^2e^{-2x^2}+x^3\cdot(-4x)e^{-2x^2} \\ &=x^2(3-4x^2)e^{-2x^2} \end{aligned} $$

である。

したがって，曲線 $C$ 上の点

$$ \left(p,\ p^3e^{-2p^2}\right) $$

における接線の方程式は

$$ \begin{aligned} y-p^3e^{-2p^2} &= p^2(3-4p^2)e^{-2p^2}(x-p) \end{aligned} $$

である。これを整理すると，

$$ y = p^2(3-4p^2)e^{-2p^2}x + 2p^3(2p^2-1)e^{-2p^2} $$

となる。

よって，(1) の接線の方程式は

$$ \boxed{ y = p^2(3-4p^2)e^{-2p^2}x + 2p^3(2p^2-1)e^{-2p^2} } $$

である。

次に，この接線が直線 $L:y=ax$ と一致する条件を考える。$y=ax$ は原点を通るので，接線の定数項が $0$ でなければならない。

したがって，

$$ 2p^3(2p^2-1)e^{-2p^2}=0 $$

より，

$$ p=0 \quad \text{または} \quad p^2=\frac12 $$

である。

$p=0$ のとき，接線は $y=0$ であり，これは曲線 $C$ と接する点を $1$ つしかもたない。問題では直線 $L$ が接点を $2$ つ以上もつとされているので，必要なのは

$$ p=\pm \frac{1}{\sqrt2} $$

の場合である。

このとき，接線の傾きは

$$ \begin{aligned} a &=p^2(3-4p^2)e^{-2p^2} \\ &=\frac12(3-2)e^{-1} \\ &=\frac{1}{2e} \end{aligned} $$

である。

よって，

$$ \boxed{a=\frac{1}{2e}} $$

である。

次に，$x\geqq 0$ に対して

$$ ax\geqq x^3e^{-2x^2} $$

を示す。

$a=\dfrac{1}{2e}$ であるから，示すべき不等式は

$$ \frac{x}{2e}\geqq x^3e^{-2x^2} $$

である。

$x=0$ のとき，両辺はともに $0$ であり，不等式は成り立つ。

$x>0$ のとき，両辺を $x$ で割ると，

$$ \frac{1}{2e}\geqq x^2e^{-2x^2} $$

を示せばよい。

ここで

$$ t=x^2 \quad (t\geqq 0) $$

とおくと，右辺は

$$ te^{-2t} $$

である。関数

$$ \varphi(t)=te^{-2t} $$

を考えると，

$$ \varphi'(t)=e^{-2t}(1-2t) $$

である。

したがって，$\varphi(t)$ は $0\leqq t\leqq \dfrac12$ で増加し，$t\geqq \dfrac12$ で減少する。よって最大値は $t=\dfrac12$ のときであり，

$$ \begin{aligned} \varphi\left(\frac12\right) &= \frac12 e^{-1} \\ \frac{1}{2e} \end{aligned} $$

である。

したがって，任意の $t\geqq 0$ に対して

$$ te^{-2t}\leqq \frac{1}{2e} $$

が成り立つ。よって，$x\geqq 0$ に対して

$$ ax\geqq x^3e^{-2x^2} $$

が成り立つ。

等号が成り立つのは，$x=0$ の場合，または $x>0$ で

$$ x^2=\frac12 $$

となる場合である。したがって，

$$ \boxed{x=0,\ \frac{1}{\sqrt2}} $$

で等号が成り立つ。

最後に，$x\geqq 0$ の範囲で曲線 $C$ と直線 $L$ に囲まれた図形の面積を求める。

等号成立点は

$$ x=0,\quad x=\frac{1}{\sqrt2} $$

であり，その間では直線 $L$ が曲線 $C$ の上側にある。したがって，求める面積 $S$ は

$$ S= \int_0^{1/\sqrt2} \left( \frac{x}{2e}-x^3e^{-2x^2} \right),dx $$

である。

まず，

$$ \begin{aligned} \int_0^{1/\sqrt2}\frac{x}{2e},dx &= \frac{1}{2e}\cdot \frac12\left(\frac{1}{\sqrt2}\right)^2 \\ \frac{1}{8e} \end{aligned} $$

である。

次に，

$$ \int_0^{1/\sqrt2}x^3e^{-2x^2},dx $$

を計算する。$u=x^2$ とおくと，$du=2x,dx$ より $x^3dx=\dfrac12u,du$ である。また，積分区間は $x=0$ から $u=0$，$x=\dfrac1{\sqrt2}$ から $u=\dfrac12$ となる。

したがって，

$$ \begin{aligned} \int_0^{1/\sqrt2}x^3e^{-2x^2},dx &= \frac12\int_0^{1/2}ue^{-2u},du \\ &= \frac12 \left[ -\left(\frac{u}{2}+\frac14\right)e^{-2u} \right]_0^{1/2} \\ &= \left[ -\left(\frac{u}{4}+\frac18\right)e^{-2u} \right]_0^{1/2} \\ &= -\frac{1}{4e}+\frac18 \\ &= \frac18-\frac{1}{4e} \end{aligned} $$

である。

よって，

$$ \begin{aligned} S &= \frac{1}{8e} &= \left( \frac18-\frac{1}{4e} \right) \\ &= \frac{3}{8e}-\frac18 \\ &= \frac{3-e}{8e} \end{aligned} $$

したがって，求める面積は

$$ \boxed{\frac{3-e}{8e}} $$

である。

解説

この問題の中心は，「直線 $y=ax$ が曲線に接する」という条件を，接線が原点を通る条件として扱う点である。

一般の点 $x=p$ における接線を求め，定数項が $0$ になる条件を調べることで，接点が

$$ p=\pm\frac1{\sqrt2} $$

であることが分かる。これにより，直線 $L$ の傾きも

$$ a=\frac1{2e} $$

と定まる。

不等式の証明では，$x>0$ のときに両辺を $x$ で割り，$x^2e^{-2x^2}$ の最大値を調べるのが自然である。$t=x^2$ とおくことで，関数 $te^{-2t}$ の最大値問題に帰着できる。

面積は，不等式により直線が曲線の上側にあることが分かっているので，上から下を引いて

$$ \int_0^{1/\sqrt2} \left( \frac{x}{2e}-x^3e^{-2x^2} \right),dx $$

を計算すればよい。

答え

(1)

$$ \boxed{ y = p^2(3-4p^2)e^{-2p^2}x + 2p^3(2p^2-1)e^{-2p^2} } $$

(2)

$$ \boxed{a=\frac{1}{2e}} $$

(3)

$x\geqq 0$ に対して

$$ \boxed{ ax\geqq x^3e^{-2x^2} } $$

が成り立つ。等号成立は

$$ \boxed{x=0,\ \frac{1}{\sqrt2}} $$

である。

(4)

$$ \boxed{ \frac{3-e}{8e} } $$