数学3 接線・極限との複合 問題 67 解説

方針・初手

$f(x)=e^{-x}\sin x$ では、$e^{-x}>0$ であるから、符号は $\sin x$ によって決まる。

最大値・最小値は微分して増減を調べる。絶対値を含む積分は、$\sin x$ の符号が変わる点 $x=k\pi$ ごとに区間を分ける。

解法1

まず微分する。

$$ f'(x)=e^{-x}\cos x-e^{-x}\sin x=e^{-x}(\cos x-\sin x) $$

$e^{-x}>0$ より、$f'(x)=0$ となるのは

$$ \cos x-\sin x=0 $$

すなわち

$$ \tan x=1 $$

である。$0\leqq x\leqq 2\pi$ においては

$$ x=\frac{\pi}{4},\ \frac{5\pi}{4} $$

である。

各点での値を調べると、

$$ f(0)=0,\quad f(2\pi)=0 $$

また、

$$ f\left(\frac{\pi}{4}\right) =e^{-\frac{\pi}{4}}\sin\frac{\pi}{4} =\frac{\sqrt{2}}{2}e^{-\frac{\pi}{4}} $$

$$ f\left(\frac{5\pi}{4}\right) =e^{-\frac{5\pi}{4}}\sin\frac{5\pi}{4} =-\frac{\sqrt{2}}{2}e^{-\frac{5\pi}{4}} $$

したがって、$0\leqq x\leqq 2\pi$ における最大値は

$$ \frac{\sqrt{2}}{2}e^{-\frac{\pi}{4}} $$

最小値は

$$ -\frac{\sqrt{2}}{2}e^{-\frac{5\pi}{4}} $$

である。

次に、積分を求める。部分積分または公式により、

$$ \int e^{-x}\sin x,dx =-\frac{1}{2}e^{-x}(\sin x+\cos x)+C $$

である。よって、

$$ \begin{aligned} \int_0^\pi f(x),dx &=\left[-\frac{1}{2}e^{-x}(\sin x+\cos x)\right]_0^\pi\\ &=-\frac{1}{2}e^{-\pi}(0-1)-\left\{-\frac{1}{2}(0+1)\right\}\\ &=\frac{1}{2}e^{-\pi}+\frac{1}{2}\\ &=\frac{1+e^{-\pi}}{2} \end{aligned} $$

したがって、

$$ \int_0^\pi f(x),dx=\frac{1+e^{-\pi}}{2} $$

である。

次に絶対値つきの積分を考える。$0\leqq x\leqq \pi$ では $\sin x\geqq 0$ であるから、$f(x)\geqq 0$ である。したがって、

$$ \int_0^\pi |f(x)|,dx =\int_0^\pi f(x),dx =\frac{1+e^{-\pi}}{2} $$

一方、$\pi\leqq x\leqq 2\pi$ では $\sin x\leqq 0$ であるから、$f(x)\leqq 0$ である。よって、

$$ \int_\pi^{2\pi}|f(x)|,dx =-\int_\pi^{2\pi}f(x),dx $$

ここで、

$$ \begin{aligned} \int_\pi^{2\pi}f(x),dx &=\left[-\frac{1}{2}e^{-x}(\sin x+\cos x)\right]_\pi^{2\pi}\\ &=-\frac{1}{2}e^{-2\pi}(0+1)-\frac{1}{2}e^{-\pi}\\ &=-\frac{e^{-\pi}+e^{-2\pi}}{2} \end{aligned} $$

したがって、

$$ \int_\pi^{2\pi}|f(x)|,dx =\frac{e^{-\pi}+e^{-2\pi}}{2} $$

最後に、

$$ S_n=\int_0^{n\pi}|f(x)|,dx $$

を考える。

区間 $[k\pi,(k+1)\pi]$ における積分を調べる。ただし $k=0,1,2,\dots,n-1$ とする。

$x=t+k\pi$ とおくと、$0\leqq t\leqq \pi$ であり、

$$ |\sin(t+k\pi)|=\sin t $$

また、

$$ e^{-(t+k\pi)}=e^{-k\pi}e^{-t} $$

である。したがって、

$$ \begin{aligned} \int_{k\pi}^{(k+1)\pi}|f(x)|,dx &=\int_0^\pi e^{-(t+k\pi)}|\sin(t+k\pi)|,dt\\ &=e^{-k\pi}\int_0^\pi e^{-t}\sin t,dt\\ &=e^{-k\pi}\cdot \frac{1+e^{-\pi}}{2} \end{aligned} $$

よって、

$$ \begin{aligned} S_n &=\sum_{k=0}^{n-1}e^{-k\pi}\cdot \frac{1+e^{-\pi}}{2}\\ &=\frac{1+e^{-\pi}}{2}\sum_{k=0}^{n-1}(e^{-\pi})^k\\ &=\frac{1+e^{-\pi}}{2}\cdot \frac{1-e^{-n\pi}}{1-e^{-\pi}} \end{aligned} $$

したがって、

$$ \lim_{n\to\infty}S_n =\frac{1+e^{-\pi}}{2}\cdot \frac{1}{1-e^{-\pi}} =\frac{1+e^{-\pi}}{2(1-e^{-\pi})} $$

である。

解説

この問題の中心は、$e^{-x}$ が常に正であることを利用して、符号を $\sin x$ だけで判断する点にある。

最大値・最小値では、$f'(x)=e^{-x}(\cos x-\sin x)$ と整理できるため、臨界点は $\cos x=\sin x$ から求まる。

絶対値つき積分では、$\sin x$ の符号が $x=k\pi$ で変わるため、$\pi$ ごとの区間に分けるのが自然である。さらに、各区間の面積は前の区間の $e^{-\pi}$ 倍になるので、$S_n$ は等比数列の和として処理できる。

答え

(1)

最大値は

$$ \frac{\sqrt{2}}{2}e^{-\frac{\pi}{4}} $$

最小値は

$$ -\frac{\sqrt{2}}{2}e^{-\frac{5\pi}{4}} $$

(2)

$$ \int_0^\pi f(x),dx=\frac{1+e^{-\pi}}{2} $$

(3)

$$ \int_0^\pi |f(x)|,dx=\frac{1+e^{-\pi}}{2} $$

$$ \int_\pi^{2\pi}|f(x)|,dx=\frac{e^{-\pi}+e^{-2\pi}}{2} $$

(4)

$$ S_n=\frac{1+e^{-\pi}}{2}\cdot \frac{1-e^{-n\pi}}{1-e^{-\pi}} $$

したがって、

$$ \lim_{n\to\infty}S_n=\frac{1+e^{-\pi}}{2(1-e^{-\pi})} $$