数学3 接線・極限との複合 問題 69 解説

方針・初手

指数関数を含む関数なので、まず微分して増減を調べる。接線については、接点の $x$ 座標を $t$ とおき、接線が原点を通る条件を式にする。面積は、この関数が下に凸であることを利用して、曲線と接線の差を積分して求める。

解法1

(1)

$$ f(x)=e^{a(x+1)}-ax $$

とする。$a>0$ であるから、

$$ f'(x)=ae^{a(x+1)}-a=a{e^{a(x+1)}-1} $$

である。

したがって、

$$ f'(x)=0 $$

となるのは

$$ e^{a(x+1)}=1 $$

すなわち

$$ a(x+1)=0 $$

より、

$$ x=-1 $$

のときである。

また、$a>0$ より、$x<-1$ では $a(x+1)<0$ だから $e^{a(x+1)}<1$ となり、$f'(x)<0$ である。一方、$x>-1$ では $f'(x)>0$ である。

よって、$f(x)$ は $x=-1$ で最小値をとる。その値は

$$ f(-1)=e^0-a(-1)=1+a $$

である。

したがって、$f(x)$ の最小値は

$$ 1+a $$

である。

(2)

接点の $x$ 座標を $t$ とする。このとき接線の方程式は

$$ y=f'(t)(x-t)+f(t) $$

である。

この接線が原点を通るから、$x=0,\ y=0$ を代入して

$$ 0=f'(t)(-t)+f(t) $$

すなわち

$$ f(t)=tf'(t) $$

を得る。

ここで、

$$ f(t)=e^{a(t+1)}-at $$

かつ

$$ f'(t)=a{e^{a(t+1)}-1} $$

であるから、

$$ e^{a(t+1)}-at=at{e^{a(t+1)}-1} $$

となる。

両辺を整理すると、

$$ e^{a(t+1)}-at=ate^{a(t+1)}-at $$

より、

$$ e^{a(t+1)}=ate^{a(t+1)} $$

である。指数関数は常に正であるから、両辺を $e^{a(t+1)}$ で割って

$$ 1=at $$

となる。よって、

$$ t=\frac{1}{a} $$

である。

したがって、接点は $x=\dfrac{1}{a}$ の点であり、このとき

$$ f'\left(\frac{1}{a}\right) =a{e^{a(\frac{1}{a}+1)}-1} =a(e^{a+1}-1) $$

である。

原点を通る接線なので、求める接線の方程式は

$$ y=a(e^{a+1}-1)x $$

である。

(3)

まず、

$$ f''(x)=a^2e^{a(x+1)}>0 $$

であるから、曲線 $y=f(x)$ は下に凸である。したがって、接線は曲線の下側にある。

（2） で求めた接線と曲線の接点は $x=\dfrac{1}{a}$ である。また、$y$ 軸は $x=0$ であるから、囲まれる部分の面積 $S(a)$ は

$$ S(a)=\int_0^{1/a}{f(x)-a(e^{a+1}-1)x},dx $$

である。

ここで、

$$ \begin{aligned} f(x)-a(e^{a+1}-1)x &=e^{a(x+1)}-ax-a(e^{a+1}-1)x \\ &=e^{a(x+1)}-ae^{a+1}x \end{aligned} $$

である。よって、

$$ \begin{aligned} S(a) &=\int_0^{1/a}{e^{a(x+1)}-ae^{a+1}x},dx \\ &=\left[\frac{1}{a}e^{a(x+1)}-\frac{ae^{a+1}}{2}x^2\right]_0^{1/a} \\ &=\frac{1}{a}(e^{a+1}-e^a)-\frac{ae^{a+1}}{2}\cdot\frac{1}{a^2} \\ &=\frac{e^a}{a}(e-1)-\frac{e^{a+1}}{2a} \\ &=\frac{e^a}{a}\left(e-1-\frac{e}{2}\right) \\ &=\frac{e^a}{a}\left(\frac{e}{2}-1\right) \end{aligned} $$

である。

したがって、

$$ S(a)=\frac{e^a}{a}\left(\frac{e}{2}-1\right) $$

である。

(4)

（3） より、

$$ S(a)=\left(\frac{e}{2}-1\right)\frac{e^a}{a} $$

である。ここで $e>2$ より、

$$ \frac{e}{2}-1>0 $$

であるから、$S(a)$ の最小化は

$$ \frac{e^a}{a} $$

の最小化に帰着される。

$$ g(a)=\frac{e^a}{a} $$

とおく。ただし $a>0$ である。このとき、

$$ g'(a)=\frac{ae^a-e^a}{a^2} =\frac{e^a(a-1)}{a^2} $$

である。

したがって、$0<a<1$ では $g'(a)<0$、$a>1$ では $g'(a)>0$ である。よって、$g(a)$ は $a=1$ で最小値をとる。

したがって、$S(a)$ も $a=1$ で最小値をとり、その値は

$$ S(1)=\left(\frac{e}{2}-1\right)e =\frac{e^2}{2}-e $$

である。

解説

この問題では、接線が原点を通る条件を正しく立式できるかが中心である。接点を $t$ とおくと、接線が原点を通る条件は $f(t)=tf'(t)$ になる。この条件を使うと、接点の座標が $t=\dfrac{1}{a}$ と簡単に求まる。

面積については、$f''(x)>0$ から曲線が下に凸であることを確認しておく必要がある。これにより、曲線が接線の上側にあると判断でき、面積を

$$ \int_0^{1/a}(\text{曲線}-\text{接線}),dx $$

として計算できる。

最後の最小化では、$S(a)$ が定数倍された $\dfrac{e^a}{a}$ の形になるため、微分して $a=1$ を得ればよい。

答え

(1)

$$ 1+a $$

(2)

$$ y=a(e^{a+1}-1)x $$

(3)

$$ S(a)=\frac{e^a}{a}\left(\frac{e}{2}-1\right) $$

(4)

$$ \frac{e^2}{2}-e $$

ただし、この最小値は $a=1$ のときにとる。