数学3 接線・極限との複合 問題 68 解説

方針・初手

$\log x$ が負になる区間 $0<x<1$ の問題なので、微分計算では直接 $\log x$ を扱い、極限や面積では

$$ t=-\log x \quad (t>0) $$

とおくと見通しがよい。

特に $x=e^{-t}$ とすると、$x$ が $0$ から $1$ に増加することは、$t$ が $\infty$ から $0$ に減少することに対応する。

解法1

まず

$$ f(x)=\frac{1}{x(\log x)^n} $$

とする。

(1) 極値

微分すると、

$$ \begin{aligned} f'(x) &=-\frac{(\log x)^n+n(\log x)^{n-1}}{x^2(\log x)^{2n}}\\ &=-\frac{\log x+n}{x^2(\log x)^{n+1}} \end{aligned} $$

である。

したがって $f'(x)=0$ となるのは

$$ \log x+n=0 $$

すなわち

$$ a_n=e^{-n} $$

である。

このとき

$$ f(a_n) =\frac{1}{e^{-n}(-n)^n} =\frac{(-1)^n e^n}{n^n} $$

である。

極大・極小を判定するために、$t=-\log x$ とおく。すると

$$ f(x)=(-1)^n \frac{e^t}{t^n} $$

である。ここで

$$ g(t)=\frac{e^t}{t^n} $$

とおくと、

$$ g'(t)=\frac{e^t(t-n)}{t^{n+1}} $$

であるから、$g(t)$ は $t=n$ で極小となる。

よって $n$ が偶数のとき $f(x)=g(t)$ であるから $f(a_n)$ は極小値、$n$ が奇数のとき $f(x)=-g(t)$ であるから $f(a_n)$ は極大値である。

したがって

$$ a_n=e^{-n},\qquad f(a_n)=\frac{(-1)^n e^n}{n^n} $$

であり、$n$ が偶数なら極小値、$n$ が奇数なら極大値である。

(2) 変曲点

$t=-\log x$ とおくと、

$$ f(x)=(-1)^n e^t t^{-n} $$

である。また

$$ \frac{d}{dx}=-e^t\frac{d}{dt} $$

である。

計算すると、

$$ f''(x) =(-1)^n e^{3t}t^{-n-2}{2t^2-3nt+n^2+n} $$

となる。

したがって $f''(x)=0$ は

$$ 2t^2-3nt+n^2+n=0 $$

である。この判別式は

$$ D=9n^2-8(n^2+n)=n^2-8n=n(n-8) $$

であり、$n\geqq 9$ だから $D>0$ である。よって実数解を 2 つもち、

$$ t=\frac{3n\pm\sqrt{n^2-8n}}{4} $$

である。

ここで $x=e^{-t}$ であり、$t$ が大きいほど $x$ は小さい。したがって、$b_n<c_n$ となるようにとると、

$$ b_n=\exp\left(-\frac{3n+\sqrt{n^2-8n}}{4}\right) $$

である。

また、$2t^2-3nt+n^2+n$ は上に凸の2次式であり、異なる2つの実数解をもつので、その前後で符号が変わる。したがって $f''(x)$ も各点で符号を変える。

よって $f(x)$ は 2 つの変曲点をもつ。

(3) 不等式の証明

(1)より

$$ \log a_n=-n $$

である。また (2)より

$$ \log b_n=-\frac{3n+\sqrt{n^2-8n}}{4} $$

である。

したがって

$$ \frac{\log b_n}{\log a_n} =\frac{3n+\sqrt{n^2-8n}}{4n} =\frac{3+\sqrt{1-\frac{8}{n}}}{4} $$

である。これを

$$ r_n=\frac{3+\sqrt{1-\frac{8}{n}}}{4} $$

とおく。

まず右側の不等式を示す。$n\geqq 9$ より $1-\frac{4}{n}>0$ であるから、

$$ \sqrt{1-\frac{8}{n}}\leqq 1-\frac{4}{n} $$

を示せばよい。両辺は非負であり、両辺を2乗すると、

$$ 1-\frac{8}{n}\leqq \left(1-\frac{4}{n}\right)^2 $$

すなわち

$$ 1-\frac{8}{n}\leqq 1-\frac{8}{n}+\frac{16}{n^2} $$

となり、これは成り立つ。よって

$$ r_n\leqq 1-\frac{1}{n} $$

である。

次に左側の不等式を示す。$n\geqq 9$ より $1-\frac{4}{n}-\frac{20}{n^2}>0$ であるから、

$$ \sqrt{1-\frac{8}{n}}\geqq 1-\frac{4}{n}-\frac{20}{n^2} $$

を示せばよい。両辺を2乗してよいので、

$$ 1-\frac{8}{n}\geqq \left(1-\frac{4}{n}-\frac{20}{n^2}\right)^2 $$

を示す。

右辺を展開すると、

$$ \begin{aligned} \left(1-\frac{4}{n}-\frac{20}{n^2}\right)^2 &= 1-\frac{8}{n}-\frac{24}{n^2}+\frac{160}{n^3}+\frac{400}{n^4} \end{aligned} $$

である。したがって必要な不等式は

$$ -\frac{24}{n^2}+\frac{160}{n^3}+\frac{400}{n^4}\leqq 0 $$

すなわち

$$ 24n^2-160n-400\geqq 0 $$

と同値である。これは

$$ 8(3n^2-20n-50)\geqq 0 $$

である。

$n\geqq 9$ のとき、

$$ 3n^2-20n-50\geqq 3\cdot 9^2-20\cdot 9-50=13>0 $$

であるから成り立つ。

以上より、

$$ 1-\frac{1}{n}-\frac{5}{n^2} \leqq \frac{\log b_n}{\log a_n} \leqq 1-\frac{1}{n} $$

が示された。

(4) 不定積分

$u=\log x$ とおくと、

$$ du=\frac{1}{x},dx $$

であるから、

$$ \begin{aligned} \int f(x),dx &= \int \frac{1}{x(\log x)^n},dx \\ \int u^{-n},du \end{aligned} $$

となる。

$n\geqq 9$ より $n\neq 1$ なので、

$$ \begin{aligned} \int u^{-n},du &= \frac{u^{1-n}}{1-n}+C \end{aligned} $$

である。よって

$$ \begin{aligned} \int f(x),dx &= -\frac{1}{(n-1)(\log x)^{n-1}}+C \end{aligned} $$

である。

(5) 面積と極限

(1), (2)より、

$$ a_n=e^{-n} $$

であり、

$$ b_n=\exp\left(-\frac{3n+\sqrt{n^2-8n}}{4}\right) $$

である。

ここで

$$ \beta_n=-\log b_n =\frac{3n+\sqrt{n^2-8n}}{4} $$

とおく。このとき

$$ \begin{aligned} \frac{\beta_n}{n} &= \frac{\log b_n}{\log a_n} \end{aligned} $$

である。

また $n\geqq 9$ のとき $\beta_n<n$ であるから、

$$ a_n=e^{-n}<e^{-\beta_n}=b_n $$

である。

曲線と $x$ 軸で囲まれる面積は、$f(x)$ の符号を考えて絶対値をとればよい。区間 $a_n\leqq x\leqq b_n$ では $f(x)$ の符号は一定なので、

$$ \begin{aligned} S_n &= \left|\int_{a_n}^{b_n} f(x),dx\right| \end{aligned} $$

である。

(4)の結果を用いると、

$$ \begin{aligned} S_n &= \frac{1}{n-1}\left(\beta_n^{1-n}-n^{1-n}\right) \end{aligned} $$

となる。

ここで

$$ \begin{aligned} r_n=\frac{\beta_n}{n} &= \frac{\log b_n}{\log a_n} \end{aligned} $$

とおくと、

$$ \beta_n=nr_n $$

であるから、

$$ \begin{aligned} S_n &= \frac{1}{n-1}\left((nr_n)^{1-n}-n^{1-n}\right)\\ &= \frac{n^{1-n}}{n-1}\left(r_n^{1-n}-1\right) \end{aligned} $$

である。よって

$$ \begin{aligned} n^nS_n &= \frac{n}{n-1}\left(r_n^{1-n}-1\right) \end{aligned} $$

となる。

(3)より、

$$ 1-\frac{1}{n}-\frac{5}{n^2} \leqq r_n \leqq 1-\frac{1}{n} $$

である。$1-n<0$ であることに注意すると、

$$ \left(1-\frac{1}{n}\right)^{1-n} \leqq r_n^{1-n} \leqq \left(1-\frac{1}{n}-\frac{5}{n^2}\right)^{1-n} $$

である。

左端は

$$ \left(1-\frac{1}{n}\right)^{-(n-1)} \to e $$

である。

右端についても、

$$ \begin{aligned} 1-\frac{1}{n}-\frac{5}{n^2} &= 1-\frac{1+\frac{5}{n}}{n} \end{aligned} $$

であり、

$$ \left(1-\frac{1}{n}-\frac{5}{n^2}\right)^{-(n-1)} \to e $$

である。

したがって、はさみうちより

$$ r_n^{1-n}\to e $$

である。また

$$ \frac{n}{n-1}\to 1 $$

であるから、

$$ \begin{aligned} \lim_{n\to\infty}n^nS_n &= e-1 \end{aligned} $$

である。

解説

この問題では、$\log x<0$ であるため、符号の扱いを誤りやすい。特に $f(a_n)$ が極大か極小かは、$n$ の偶奇によって変わる。

変曲点は $f''(x)=0$ を直接計算してもよいが、$t=-\log x$ とおくと式が整理される。ただし $x=e^{-t}$ であるため、$t$ の大小と $x$ の大小が逆になる点に注意する必要がある。

(5)では、面積を求める区間が $[a_n,b_n]$ であることを確認し、$f(x)$ が負の場合には絶対値を取る必要がある。最後の極限では、(3)で得た評価をそのまま使って $r_n^{1-n}\to e$ を示すのが自然である。

答え

(1)

$$ a_n=e^{-n},\qquad f(a_n)=\frac{(-1)^n e^n}{n^n} $$

$n$ が偶数のとき $f(a_n)$ は極小値、$n$ が奇数のとき $f(a_n)$ は極大値である。

(2)

$f(x)$ は 2 つの変曲点をもつ。また、$b_n<c_n$ とすると、

$$ b_n= \exp\left(-\frac{3n+\sqrt{n^2-8n}}{4}\right) $$

である。

(3)

$$ 1-\frac{1}{n}-\frac{5}{n^2} \leqq \frac{\log b_n}{\log a_n} \leqq 1-\frac{1}{n} $$

である。

(4)

$$ \begin{aligned} \int f(x),dx &= -\frac{1}{(n-1)(\log x)^{n-1}}+C \end{aligned} $$

である。

(5)

$$ \lim_{n\to\infty}n^nS_n=e-1 $$