数学3 接線・極限との複合 問題 76 解説

方針・初手

まず $f'(x)$ を求め，点 $x=t$ における接線の方程式を出す。 その後，接線と $x$ 軸，接線と直線 $y=ax$ の交点を求めれば，囲まれる部分は三角形として面積を計算できる。

解法1

$f(x)=a\sqrt{x^2-1}$ より，$x>1$ において

$$ f'(x)=a\cdot \frac{x}{\sqrt{x^2-1}} $$

である。したがって，点 $(t,f(t))$ における接線 $\ell$ の傾きは

$$ f'(t)=\frac{at}{\sqrt{t^2-1}} $$

である。

また，

$$ f(t)=a\sqrt{t^2-1} $$

だから，接線 $\ell$ は

$$ \begin{aligned} y-a\sqrt{t^2-1} &= \frac{at}{\sqrt{t^2-1}}(x-t) \end{aligned} $$

である。これを整理すると，

$$ \begin{aligned} y &= \frac{at}{\sqrt{t^2-1}}x -\frac{at^2}{\sqrt{t^2-1}} +a\sqrt{t^2-1} \\ &= \frac{a}{\sqrt{t^2-1}}{tx-t^2+(t^2-1)} \\ &= \frac{a(tx-1)}{\sqrt{t^2-1}} \end{aligned} $$

となる。よって，接線 $\ell$ の方程式は

$$ \ell:\ y=\frac{a(tx-1)}{\sqrt{t^2-1}} $$

である。

次に，接線 $\ell$ と $x$ 軸の交点を求める。$x$ 軸上では $y=0$ であるから，

$$ \frac{a(tx-1)}{\sqrt{t^2-1}}=0 $$

である。ここで $a>0,\ t>1$ より分母は $0$ でないので，

$$ tx-1=0 $$

となる。したがって，

$$ x=\frac{1}{t} $$

である。

次に，接線 $\ell$ と直線 $y=ax$ の交点を求める。交点の $x$ 座標を $x$ とすると，

$$ \frac{a(tx-1)}{\sqrt{t^2-1}}=ax $$

である。$a>0$ より両辺を $a$ で割って，

$$ \frac{tx-1}{\sqrt{t^2-1}}=x $$

となる。よって，

$$ tx-1=x\sqrt{t^2-1} $$

すなわち

$$ x\left(t-\sqrt{t^2-1}\right)=1 $$

である。したがって，

$$ x=\frac{1}{t-\sqrt{t^2-1}} $$

となる。分母を有理化すると，

$$ x=t+\sqrt{t^2-1} $$

である。よって，交点の座標は

$$ \left(t+\sqrt{t^2-1},\ a\left(t+\sqrt{t^2-1}\right)\right) $$

である。

ここで，接線 $\ell$，$x$ 軸，直線 $y=ax$ で囲まれる図形は三角形である。 その頂点は

$$ O=(0,0),\quad P=\left(\frac{1}{t},0\right),\quad Q=\left(t+\sqrt{t^2-1},\ a\left(t+\sqrt{t^2-1}\right)\right) $$

である。

底辺を $OP$ と見ると，その長さは

$$ \frac{1}{t} $$

であり，高さは点 $Q$ の $y$ 座標

$$ a\left(t+\sqrt{t^2-1}\right) $$

である。したがって，面積 $S(t)$ は

$$ \begin{aligned} S(t) &= \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{t}\cdot a\left(t+\sqrt{t^2-1}\right) \end{aligned} $$

である。よって，

$$ S(t)=\frac{a\left(t+\sqrt{t^2-1}\right)}{2t} $$

となる。

最後に極限を求める。

$$ \begin{aligned} S(t) &= \frac{a}{2}\left(1+\frac{\sqrt{t^2-1}}{t}\right) \end{aligned} $$

である。$t>1$ より，

$$ \begin{aligned} \frac{\sqrt{t^2-1}}{t} &= \sqrt{1-\frac{1}{t^2}} \end{aligned} $$

だから，

$$ \begin{aligned} \lim_{t\to\infty}S(t) &= \frac{a}{2}\left(1+\lim_{t\to\infty}\sqrt{1-\frac{1}{t^2}}\right) \\ \frac{a}{2}(1+1) \\ a \end{aligned} $$

である。

解説

この問題の中心は，接線の方程式を簡潔な形

$$ y=\frac{a(tx-1)}{\sqrt{t^2-1}} $$

に整理できることである。

この形にしておくと，$x$ 軸との交点はすぐに $x=1/t$ と分かる。また，直線 $y=ax$ との交点も $a$ が消えるため，計算がかなり軽くなる。

面積計算では，囲まれた図形を三角形として見ることが重要である。$x$ 軸上の点 $(1/t,0)$ と原点，さらに直線 $y=ax$ 上の交点を頂点に持つ三角形なので，底辺と高さから直接求められる。

答え

(1)

$$ \ell:\ y=\frac{a(tx-1)}{\sqrt{t^2-1}} $$

(2)

$$ x=\frac{1}{t} $$

(3)

$$ \left(t+\sqrt{t^2-1},\ a\left(t+\sqrt{t^2-1}\right)\right) $$

(4)

$$ S(t)=\frac{a\left(t+\sqrt{t^2-1}\right)}{2t} $$

(5)

$$ \lim_{t\to\infty}S(t)=a $$