数学3 接線・極限との複合 問題 77 解説

方針・初手

$f(x)=1/\sin x$ は $0<x<\pi$ で正に定義される。導関数を求めた後、$f''(x)>0$ を示せば、曲線が任意の接線より上にあることが分かる。

面積の問題では、$x=\pi/3$ と $x=2\pi/3$ における接線を具体的に求め、2本の接線の交点を境に積分区間を分ける。

解法1

まず、$\sin x\neq 0$ である $x$ に対して、定義に従って導関数を求める。

$$ \begin{aligned} f'(x) &=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\ &=\lim_{h\to 0}\frac{\dfrac{1}{\sin(x+h)}-\dfrac{1}{\sin x}}{h} \\ &=\lim_{h\to 0}\frac{\sin x-\sin(x+h)}{h\sin(x+h)\sin x}. \end{aligned} $$

ここで、

$$ \sin(x+h)-\sin x=2\cos\left(x+\frac{h}{2}\right)\sin\frac{h}{2} $$

より、

$$ \sin x-\sin(x+h) =-2\cos\left(x+\frac{h}{2}\right)\sin\frac{h}{2}. $$

したがって、

$$ \begin{aligned} f'(x) &=\lim_{h\to 0} \left\{ -\frac{\cos\left(x+\frac{h}{2}\right)}{\sin(x+h)\sin x} \cdot \frac{2\sin\frac{h}{2}}{h} \right\}. \end{aligned} $$

また、

$$ \begin{aligned} \frac{2\sin\frac{h}{2}}{h} &= \frac{\sin\frac{h}{2}}{\frac{h}{2}} \to 1 \quad (h\to 0) \end{aligned} $$

であるから、

$$ f'(x)=-\frac{\cos x}{\sin^2 x}. $$

次に、不定積分を求める。

$$ \int f(x),dx=\int \frac{1}{\sin x},dx. $$

$\sin^2x=1-\cos^2x$ を用いると、

$$ \begin{aligned} \frac{1}{\sin x} &= \frac{\sin x}{\sin^2x} \\ \frac{\sin x}{1-\cos^2x}. \end{aligned} $$

よって、$u=\cos x$ とおくと、$du=-\sin x,dx$ であるから、

$$ \begin{aligned} \int \frac{1}{\sin x},dx &=\int \frac{\sin x}{1-\cos^2x},dx \\ &=-\int \frac{1}{1-u^2},du \\ &=\frac12\log\left|\frac{1-u}{1+u}\right|+C \\ &=\frac12\log\left|\frac{1-\cos x}{1+\cos x}\right|+C. \end{aligned} $$

半角公式

$$ \tan^2\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{1+\cos x} $$

より、

$$ \begin{aligned} \int \frac{1}{\sin x},dx &= \log\left|\tan\frac{x}{2}\right|+C. \end{aligned} $$

次に、$0<t<\pi$ とし、点 $(t,f(t))$ における接線を

$$ y=mx+n $$

とする。この接線は

$$ y=f(t)+f'(t)(x-t) $$

であるから、$m=f'(t)$ である。

ここで、

$$ f'(x)=-\frac{\cos x}{\sin^2x} $$

を微分すると、

$$ \begin{aligned} f''(x) &=\frac{1}{\sin x}+\frac{2\cos^2x}{\sin^3x} \\ &=\frac{\sin^2x+2\cos^2x}{\sin^3x} \\ &=\frac{1+\cos^2x}{\sin^3x}. \end{aligned} $$

$0<x<\pi$ では $\sin x>0$ であるから、

$$ f''(x)=\frac{1+\cos^2x}{\sin^3x}>0. $$

いま、

$$ g(x)=f(x)-(mx+n) $$

とおく。接線の定義より、

$$ g(t)=0,\qquad g'(t)=0 $$

である。また、

$$ g''(x)=f''(x)>0 $$

であるから、$g'(x)$ は $0<x<\pi$ で狭義単調増加である。

したがって、$x>t$ のときは

$$ g'(x)>g'(t)=0 $$

より、$g$ は $t$ より右側で増加する。ゆえに

$$ g(x)>g(t)=0. $$

一方、$x<t$ のときは

$$ g'(x)<g'(t)=0 $$

であるから、$g$ は $t$ より左側では $x$ が増加するにつれて減少する。したがって

$$ g(x)>g(t)=0. $$

よって、$0<x<\pi,\ x\neq t$ に対して

$$ f(x)-(mx+n)>0 $$

であり、

$$ mx+n<f(x) $$

が成り立つ。

次に、$0<a<b<\pi$ とする。

$$ c=\frac{a+b}{2} $$

とおき、点 $(c,f(c))$ における接線を

$$ y=mx+n $$

とする。接線は点 $(c,f(c))$ を通るから、

$$ f(c)=mc+n $$

である。

また、$c$ は $a,b$ の中点なので、一次式 $mx+n$ について

$$ \begin{aligned} mc+n &= \frac{(ma+n)+(mb+n)}{2} \end{aligned} $$

が成り立つ。

(3) の結果を $x=a,b$ に適用すると、$a\neq c,\ b\neq c$ であるから、

$$ ma+n<f(a),\qquad mb+n<f(b) $$

である。したがって、

$$ \begin{aligned} f(c) &=mc+n \\ &=\frac{(ma+n)+(mb+n)}{2} \\ &<\frac{f(a)+f(b)}{2}. \end{aligned} $$

$c=(a+b)/2$ であるから、

$$ f\left(\frac{a+b}{2}\right) < \frac{f(a)+f(b)}{2} $$

が示された。

最後に、面積を求める。

まず、

$$ \begin{aligned} f\left(\frac{\pi}{3}\right) &= \frac{1}{\sin\frac{\pi}{3}} \\ \frac{2}{\sqrt3} \end{aligned} $$

であり、

$$ \begin{aligned} f'\left(\frac{\pi}{3}\right) &= -\frac{\cos\frac{\pi}{3}}{\sin^2\frac{\pi}{3}} \\ -\frac{\frac12}{\frac34} \\ -\frac23. \end{aligned} $$

よって、点 $x=\pi/3$ における接線を $L_1$ とすると、

$$ L_1:\quad y=-\frac23\left(x-\frac{\pi}{3}\right)+\frac{2}{\sqrt3}. $$

すなわち、

$$ L_1:\quad y=-\frac23x+\frac{2\pi}{9}+\frac{2}{\sqrt3}. $$

同様に、

$$ \begin{aligned} f\left(\frac{2\pi}{3}\right) &= \frac{2}{\sqrt3} \end{aligned} $$

であり、

$$ \begin{aligned} f'\left(\frac{2\pi}{3}\right) &= -\frac{\cos\frac{2\pi}{3}}{\sin^2\frac{2\pi}{3}} \\ -\frac{-\frac12}{\frac34} \\ \frac23. \end{aligned} $$

よって、点 $x=2\pi/3$ における接線を $L_2$ とすると、

$$ L_2:\quad y=\frac23\left(x-\frac{2\pi}{3}\right)+\frac{2}{\sqrt3}. $$

すなわち、

$$ L_2:\quad y=\frac23x-\frac{4\pi}{9}+\frac{2}{\sqrt3}. $$

2本の接線の交点の $x$ 座標は、

$$ \begin{aligned} -\frac23x+\frac{2\pi}{9}+\frac{2}{\sqrt3} &= \frac23x-\frac{4\pi}{9}+\frac{2}{\sqrt3} \end{aligned} $$

より、

$$ -\frac43x+\frac{2\pi}{3}=0 $$

であるから、

$$ x=\frac{\pi}{2}. $$

(3) より、曲線 $y=f(x)$ は接線 $L_1,L_2$ より上にある。したがって、求める面積 $S$ は

$$ S= \int_{\pi/3}^{\pi/2}\left\{f(x)-L_1(x)\right\},dx + \int_{\pi/2}^{2\pi/3}\left\{f(x)-L_2(x)\right\},dx. $$

曲線と2本の接線は $x=\pi/2$ に関して対称であるから、

$$ S= 2\int_{\pi/3}^{\pi/2}\left\{f(x)-L_1(x)\right\},dx. $$

まず、

$$ \begin{aligned} \int_{\pi/3}^{\pi/2} f(x),dx &= \int_{\pi/3}^{\pi/2}\frac{1}{\sin x},dx \\ \left[\log\tan\frac{x}{2}\right]_{\pi/3}^{\pi/2}. \end{aligned} $$

ここで、

$$ \tan\frac{\pi}{4}=1,\qquad \tan\frac{\pi}{6}=\frac{1}{\sqrt3} $$

より、

$$ \begin{aligned} \int_{\pi/3}^{\pi/2} f(x),dx &= \log 1-\log\frac{1}{\sqrt3} \\ \log\sqrt3 \\ \frac12\log 3. \end{aligned} $$

次に、$L_1$ の積分を求める。$L_1$ は一次関数であり、

$$ \begin{aligned} L_1\left(\frac{\pi}{3}\right)&=\frac{2}{\sqrt3},\\ L_1\left(\frac{\pi}{2}\right)&=-\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi}{9}+\frac{2}{\sqrt3}\\ &=\frac{2}{\sqrt3}-\frac{\pi}{9}. \end{aligned} $$

したがって、台形の面積として

$$ \begin{aligned} \int_{\pi/3}^{\pi/2}L_1(x),dx &= \left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3}\right) \frac{ \frac{2}{\sqrt3}+\left(\frac{2}{\sqrt3}-\frac{\pi}{9}\right) }{2} \\ &= \frac{\pi}{6}\left(\frac{2}{\sqrt3}-\frac{\pi}{18}\right) \\ &= \frac{\pi}{3\sqrt3}-\frac{\pi^2}{108}. \end{aligned} $$

よって、

$$ \begin{aligned} S &= 2\left\{ \frac12\log3 - \left( \frac{\pi}{3\sqrt3}-\frac{\pi^2}{108} \right) \right\} \\ &= \log3-\frac{2\pi}{3\sqrt3}+\frac{\pi^2}{54}. \end{aligned} $$

解説

この問題の中心は、$f(x)=1/\sin x$ が $0<x<\pi$ で下に凸であることを利用する点にある。

$f''(x)>0$ であるため、曲線は任意の接線より上にある。この性質をそのまま使うと、(3) の接線不等式が得られ、さらに中点での接線を考えることで (4) の不等式も自然に導ける。

(5) では、曲線が2本の接線より上にあることが分かっているので、面積は「曲線の下の面積」から「接線で作られる折れ線の下の面積」を引けばよい。2つの接点が $\pi/2$ に関して対称であるため、片側だけ計算して2倍すると計算量が少なくなる。

答え

(1)

$$ f'(x)=-\frac{\cos x}{\sin^2x} $$

(2)

$$ \begin{aligned} \int f(x),dx &= \log\left|\tan\frac{x}{2}\right|+C \end{aligned} $$

(3)

点 $(t,f(t))$ における接線を $y=mx+n$ とすると、$0<x<\pi,\ x\neq t$ に対して

$$ mx+n<f(x) $$

が成り立つ。

(4)

$0<a<b<\pi$ のとき、

$$ f\left(\frac{a+b}{2}\right) < \frac{f(a)+f(b)}{2} $$

が成り立つ。

(5)

$$ \log3-\frac{2\pi}{3\sqrt3}+\frac{\pi^2}{54} $$