数学3 接線・極限との複合 問題 79 解説

方針・初手

指数関数 $e^{-ax}$ が多項式より速く減少することを利用する問題である。

まず $I_0(t)$ を直接計算する。次に $I_{k+1}(t)$ を部分積分して $I_k(t)$ との漸化式を作る。最後はその漸化式と数学的帰納法により、$I_k(t)$ の極限を求める。

解法1

$a>0$ より、まず

$$ I_0(t)=\int_0^t e^{-ax},dx $$

を計算する。

$$ I_0(t)=\left[-\frac{1}{a}e^{-ax}\right]_0^t =\frac{1-e^{-at}}{a} $$

ここで $a>0$ であるから、$t\to\infty$ のとき $e^{-at}\to 0$ である。したがって $I_0(t)$ は収束し、

$$ \lim_{t\to\infty}I_0(t)=\frac{1}{a} $$

である。

次に、$I_{k+1}(t)$ を $I_k(t)$ で表す。$k$ は負でない整数であるから、$x^{k+1}$ は微分可能である。

$$ I_{k+1}(t)=\int_0^t x^{k+1}e^{-ax},dx $$

において、部分積分を用いる。$u=x^{k+1}$、$dv=e^{-ax},dx$ とおくと、

$$ du=(k+1)x^k,dx,\qquad v=-\frac{1}{a}e^{-ax} $$

である。よって

$$ \begin{aligned} I_{k+1}(t) &=\left[-\frac{x^{k+1}}{a}e^{-ax}\right]_0^t +\frac{k+1}{a}\int_0^t x^k e^{-ax},dx \\ &=-\frac{t^{k+1}}{a}e^{-at} +\frac{k+1}{a}I_k(t). \end{aligned} $$

したがって

$$ I_{k+1}(t)=\frac{k+1}{a}I_k(t)-\frac{t^{k+1}}{a}e^{-at} $$

である。

最後に、$I_k(t)$ の収束と極限を示す。

$k=0$ のときはすでに

$$ \lim_{t\to\infty}I_0(t)=\frac{1}{a} $$

を示した。

ある負でない整数 $k$ に対して $I_k(t)$ が収束し、

$$ \lim_{t\to\infty}I_k(t)=\frac{k!}{a^{k+1}} $$

であると仮定する。このとき、先ほどの漸化式より

$$ I_{k+1}(t)=\frac{k+1}{a}I_k(t)-\frac{t^{k+1}}{a}e^{-at} $$

である。問題文で与えられた

$$ \lim_{t\to\infty}t^{k+1}e^{-at}=0 $$

を用いると、

$$ \begin{aligned} \lim_{t\to\infty}I_{k+1}(t) &=\frac{k+1}{a}\lim_{t\to\infty}I_k(t) -\frac{1}{a}\lim_{t\to\infty}t^{k+1}e^{-at} \\ &=\frac{k+1}{a}\cdot \frac{k!}{a^{k+1}} \\ &=\frac{(k+1)!}{a^{k+2}}. \end{aligned} $$

したがって、$I_{k+1}(t)$ も収束し、その極限は

$$ \frac{(k+1)!}{a^{k+2}} $$

である。

数学的帰納法により、すべての負でない整数 $k$ に対して $I_k(t)$ は $t\to\infty$ で収束し、

$$ \lim_{t\to\infty}I_k(t)=\frac{k!}{a^{k+1}} $$

が成り立つ。

解説

この問題の中心は、部分積分によって $I_{k+1}(t)$ と $I_k(t)$ を結ぶ漸化式を作ることである。

指数関数 $e^{-ax}$ を含む積分では、$e^{-ax}$ を積分する側に回すと次数が下がる漸化式が得られやすい。ここでは

$$ I_{k+1}(t)=\frac{k+1}{a}I_k(t)-\frac{t^{k+1}}{a}e^{-at} $$

となり、最後の項は $t\to\infty$ で $0$ に収束する。したがって極限だけを見ると

$$ \lim_{t\to\infty}I_{k+1}(t) =\frac{k+1}{a}\lim_{t\to\infty}I_k(t) $$

という単純な漸化式になる。

初期値が

$$ \lim_{t\to\infty}I_0(t)=\frac{1}{a} $$

であるため、極限は順に

$$ \frac{1}{a},\quad \frac{1}{a^2},\quad \frac{2}{a^3},\quad \frac{3!}{a^4},\ldots $$

となり、一般に

$$ \frac{k!}{a^{k+1}} $$

である。

答え

(1)

$$ I_0(t)=\frac{1-e^{-at}}{a} $$

より、$t\to\infty$ のとき $I_0(t)$ は収束し、

$$ \lim_{t\to\infty}I_0(t)=\frac{1}{a} $$

である。

(2)

$$ I_{k+1}(t)=\frac{k+1}{a}I_k(t)-\frac{t^{k+1}}{a}e^{-at} $$

である。

(3)

すべての負でない整数 $k$ に対して、$t\to\infty$ のとき $I_k(t)$ は収束し、

$$ \lim_{t\to\infty}I_k(t)=\frac{k!}{a^{k+1}} $$

である。