数学3 接線・極限との複合 問題 80 解説

方針・初手

点 $P$ の座標を $P=(t,2-2t)$ とおく。すると $t$ は $0$ から $1$ まで動く。

このとき、$Q=(t,0)$、$R=(0,2-2t)$ であるから、各 $t$ に対する線分 $QR$ がどの範囲を通過するかを調べる。固定した $X$ 座標に対して、線分 $QR$ 上の $Y$ 座標の最大値を求めれば、通過領域の上側の境界が分かる。

解法1

点 $P$ は線分 $AB$ 上を動くので、

$$ P=(t,2-2t) \quad (0\leqq t\leqq 1) $$

とおける。

このとき、$P$ から $x$ 軸に下ろした垂線の足は

$$ Q=(t,0) $$

であり、$P$ から $y$ 軸に下ろした垂線の足は

$$ R=(0,2-2t) $$

である。

$0<t<1$ のとき、線分 $QR$ は、$x$ 切片が $t$、$y$ 切片が $2-2t$ の直線の一部である。したがって、この線分上の点を $(X,Y)$ とすると、

$$ \frac{X}{t}+\frac{Y}{2-2t}=1 $$

を満たす。

よって、固定した $X$ に対し、この線分上の $Y$ 座標は

$$ Y=2(1-t)\left(1-\frac{X}{t}\right) $$

である。

ここで、線分上に点が存在するためには $0\leqq X\leqq t$ であるから、固定した $X$ に対して

$$ X\leqq t\leqq 1 $$

の範囲で $Y$ の最大値を求めればよい。

$0<X<1$ として、

$$ Y=2(1-t)\left(1-\frac{X}{t}\right) $$

を整理すると、

$$ Y=2\left(1+X-t-\frac{X}{t}\right) $$

である。これを $t$ で微分すると、

$$ \frac{dY}{dt}=2\left(-1+\frac{X}{t^2}\right) $$

となる。

したがって、

$$ \frac{dY}{dt}=0 $$

より、

$$ t^2=X $$

すなわち

$$ t=\sqrt{X} $$

である。$0<X<1$ のとき、$X<\sqrt{X}<1$ であるから、これは許される範囲内にある。

また、$t$ が $X$ から $\sqrt{X}$ まで増えるとき $Y$ は増加し、$\sqrt{X}$ から $1$ まで増えるとき $Y$ は減少する。よって、$Y$ の最大値は $t=\sqrt{X}$ のときである。

したがって、通過領域の上側の境界は

$$ Y=2(1-\sqrt{X})\left(1-\frac{X}{\sqrt{X}}\right) $$

より、

$$ Y=2(1-\sqrt{X})^2 $$

である。

ゆえに、線分 $QR$ の通過する部分の面積 $S$ は

$$ S=\int_0^1 2(1-\sqrt{X})^2,dX $$

である。

これを計算すると、

$$ \begin{aligned} S &=\int_0^1 2(1-2\sqrt{X}+X),dX\\ &=2\left[X-\frac{4}{3}X^{3/2}+\frac{1}{2}X^2\right]_0^1\\ &=2\left(1-\frac{4}{3}+\frac{1}{2}\right)\\ &=2\cdot \frac{1}{6}\\ &=\frac{1}{3} \end{aligned} $$

となる。

解説

この問題では、線分 $QR$ 自体の長さや傾きではなく、「固定した $X$ 座標に対して、どこまで上に届くか」を考えるのが重要である。

$P$ の位置を $t$ で表すと、$Q$ と $R$ の座標が簡単に表せる。そこから線分 $QR$ の方程式を作り、$X$ を固定して $t$ について最大化すると、通過領域の上側の境界が得られる。

端点 $t=0,1$ のときは、それぞれ $y$ 軸上、$x$ 軸上の線分になるが、面積計算では境界に含まれるだけなので、積分結果には影響しない。

答え

$$ \frac{1}{3} $$