数学3 その他応用 問題 6 解説

方針・初手

まず

$$ F(x)=\int_1^{x^2} f(t),dt+1 $$

を微分し，条件 $F'(x)=2xF(x)$ と結びつける。 すると $f(x^2)$ と $F(x)$ が直接結ばれるので，最後に変数を置き換えれば $f$ 自身の満たす関係式が得られる。

解法1

$f$ は $x>0$ で連続であるから，微積分の基本定理と合成関数の微分法により

$$ F'(x)=2x,f(x^2) $$

である。

一方，条件より

$$ F'(x)=2xF(x) $$

であるから，$x>0$ より $2x\neq 0$ なので両辺を $2x$ で割って

$$ f(x^2)=F(x) $$

を得る。

ここで $F(x)$ の定義を代入すると

$$ f(x^2)=\int_1^{x^2} f(t),dt+1 $$

となる。

$x>0$ のとき $x^2$ は任意の正の数をとるので，$y=x^2$ とおけば $y>0$ について

$$ f(y)=\int_1^y f(t),dt+1 $$

が成り立つ。

$f$ は連続であるから右辺は微分可能であり，両辺を $y$ で微分して

$$ f'(y)=f(y) $$

を得る。

さらに $y=1$ を代入すると

$$ f(1)=\int_1^1 f(t),dt+1=1 $$

である。

したがって，初期条件

$$ f'(y)=f(y),\qquad f(1)=1 $$

を満たす関数 $f$ は

$$ f(y)=e^{y-1} $$

である。変数を $x$ に戻して

$$ f(x)=e^{x-1}\qquad (x>0) $$

を得る。

確認すると，

$$ F(x)=\int_1^{x^2} e^{t-1},dt+1 =\left[e^{t-1}\right]_1^{x^2}+1 =e^{x^2-1} $$

であるから，

$$ F'(x)=2x e^{x^2-1}=2xF(x) $$

となり，条件を満たしている。

解法2

与えられた微分方程式

$$ F'(x)=2xF(x) $$

は $F$ に関する1階微分方程式である。これを直接解くと

$$ \frac{F'(x)}{F(x)}=2x $$

より

$$ \log |F(x)|=x^2+C $$

したがって

$$ F(x)=Ce^{x^2} $$

と書ける。

ここで

$$ F(1)=\int_1^1 f(t),dt+1=1 $$

なので

$$ 1=Ce $$

より

$$ C=e^{-1} $$

である。ゆえに

$$ F(x)=e^{x^2-1} $$

を得る。

一方，微積分の基本定理より

$$ F'(x)=2x f(x^2) $$

であり，また

$$ F'(x)=2x e^{x^2-1} $$

だから，$x>0$ において

$$ f(x^2)=e^{x^2-1} $$

となる。ここで $u=x^2$ とおけば $u>0$ で任意だから

$$ f(u)=e^{u-1} $$

すなわち

$$ f(x)=e^{x-1}\qquad (x>0) $$

である。

解説

この問題の要点は，$F$ の定義に含まれる上端が $x^2$ であることから

$$ F'(x)=2x,f(x^2) $$

となる点である。ここで与えられた条件 $F'(x)=2xF(x)$ と比較すると，$f(x^2)$ と $F(x)$ が一致することが分かる。

その後は，$x^2$ を新しい変数とみなして $f$ の積分方程式に直す方法でもよいし，先に $F$ の微分方程式を解く方法でもよい。どちらも典型的な処理である。

答え

$$ f(x)=e^{x-1}\qquad (x>0) $$