数学3 その他応用 問題 5 解説

方針・初手

与えられた連立微分方程式は

$$ \frac{dx}{dt}=-y+t\cos t,\qquad \frac{dy}{dt}=x+t\sin t $$

であり、$x,y$ が回転しながら変化する形になっている。

そこで問題文で与えられた

$$ A(t)=x(t)\sin t-y(t)\cos t,\qquad B(t)=x(t)\cos t+y(t)\sin t $$

を微分すると、連立方程式が大きく簡単になる。まず $A'(t),B'(t)$ を求め、初期条件から $A(t),B(t)$ を決定し、その後 $x(t),y(t)$ を逆に求める。

解法1

まず

$$ A(t)=x(t)\sin t-y(t)\cos t $$

を微分する。

$$ \begin{aligned} A'(t) &=x'(t)\sin t+x(t)\cos t-y'(t)\cos t+y(t)\sin t \end{aligned} $$

ここで

$$ x'(t)=-y(t)+t\cos t,\qquad y'(t)=x(t)+t\sin t $$

を代入すると、

$$ \begin{aligned} A'(t) &=\bigl(-y+t\cos t\bigr)\sin t+x\cos t-\bigl(x+t\sin t\bigr)\cos t+y\sin t \\ &=-y\sin t+t\sin t\cos t+x\cos t-x\cos t-t\sin t\cos t+y\sin t \\ &=0 \end{aligned} $$

したがって $A(t)$ は定数である。初期条件 $x(0)=1,\ y(0)=0$ より

$$ A(0)=x(0)\sin 0-y(0)\cos 0=1\cdot 0-0\cdot 1=0 $$

であるから、

$$ A(t)=0 $$

となる。

次に

$$ B(t)=x(t)\cos t+y(t)\sin t $$

を微分する。

$$ \begin{aligned} B'(t) &=x'(t)\cos t-x(t)\sin t+y'(t)\sin t+y(t)\cos t \end{aligned} $$

同様に代入すると、

$$ \begin{aligned} B'(t) &=\bigl(-y+t\cos t\bigr)\cos t-x\sin t+\bigl(x+t\sin t\bigr)\sin t+y\cos t \\ &=-y\cos t+t\cos^2 t-x\sin t+x\sin t+t\sin^2 t+y\cos t \\ &=t(\cos^2 t+\sin^2 t) \\ &=t \end{aligned} $$

よって

$$ B(t)=\frac{t^2}{2}+C $$

と書ける。初期条件より

$$ B(0)=x(0)\cos 0+y(0)\sin 0=1 $$

だから $C=1$ であり、

$$ B(t)=1+\frac{t^2}{2} $$

を得る。

以上より

$$ x(t)\sin t-y(t)\cos t=0, \qquad x(t)\cos t+y(t)\sin t=1+\frac{t^2}{2} $$

が成り立つ。

ここで

$$ \begin{pmatrix} B(t) \\ A(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos t & \sin t \\ \sin t & -\cos t \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix} $$

であり、この行列は自分自身が逆行列であるから、

$$ \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos t & \sin t \\ \sin t & -\cos t \end{pmatrix} \begin{pmatrix} B(t) \\ A(t) \end{pmatrix} $$

となる。したがって

$$ x(t)=B(t)\cos t+A(t)\sin t,\qquad y(t)=B(t)\sin t-A(t)\cos t $$

である。ここに

$$ A(t)=0,\qquad B(t)=1+\frac{t^2}{2} $$

を代入して、

$$ x(t)=\left(1+\frac{t^2}{2}\right)\cos t,\qquad y(t)=\left(1+\frac{t^2}{2}\right)\sin t $$

を得る。

解説

この問題の要点は、$x,y$ をそのまま解こうとするのではなく、$\sin t,\cos t$ で組み合わせた $A(t),B(t)$ を考えることである。

もとの式は $x,y$ が回転運動の形をしているため、適切に座標を回転させると

$$ A'(t)=0,\qquad B'(t)=t $$

という一次元の簡単な微分方程式に落ちる。計算量が少なく、構造も見えやすい解法である。

答え

(1)

$$ A(t)=0,\qquad B(t)=1+\frac{t^2}{2} $$

(2)

$$ x(t)=\left(1+\frac{t^2}{2}\right)\cos t,\qquad y(t)=\left(1+\frac{t^2}{2}\right)\sin t $$