数学3 その他応用 問題 14 解説

方針・初手

積分方程式の左辺は畳み込み型である。核 $t-t^2$ は多項式なので、$x$ で順に微分すると積分が簡単になり、最終的に $f'(x)$ に関する微分方程式へ落とせる。

解法1

与えられた式を

$$ F(x)=\int_0^x (t-t^2)f'(x-t),dt $$

とおくと、

$$ F(x)=\frac12 x^2 $$

である。

まず $x$ で微分する。Leibniz の公式より

$$ F'(x)=(x-x^2)f'(0)+\int_0^x (t-t^2)f''(x-t),dt $$

であるが、$x-x^2$ の代わりに核を微分する形に直すと

$$ F'(x)=\int_0^x (1-2t)f'(x-t),dt $$

となる。したがって

$$ \int_0^x (1-2t)f'(x-t),dt=x $$

を得る。

これをもう一度微分すると、

$$ f'(x)-2\int_0^x f'(x-t),dt=1 $$

となる。さらにもう一度微分すると

$$ f''(x)-2f'(x)=0 $$

を得る。

ここで直前の式に $x=0$ を代入すると

$$ f'(0)=1 $$

である。よって $g(x)=f'(x)$ とおけば、

$$ g'(x)-2g(x)=0,\qquad g(0)=1 $$

であるから、

$$ g(x)=e^{2x} $$

すなわち

$$ f'(x)=e^{2x} $$

となる。これを積分して

$$ f(x)=\frac12 e^{2x}+C $$

を得る。ただし $C$ は任意定数である。

最後に確かめる。$f'(x)=e^{2x}$ なので左辺は

$$ \int_0^x (t-t^2)e^{2(x-t)},dt =e^{2x}\int_0^x (t-t^2)e^{-2t},dt $$

である。ここで

$$ \frac{d}{dt}\left(\frac12 t^2 e^{-2t}\right) =(t-t^2)e^{-2t} $$

だから、

$$ e^{2x}\int_0^x (t-t^2)e^{-2t},dt =e^{2x}\left[\frac12 t^2 e^{-2t}\right]_0^x =\frac12 x^2 $$

となり、確かに条件を満たす。

解説

この問題の要点は、積分方程式をそのまま扱わず、微分して通常の微分方程式に変えることである。もとの条件には $f'(x-t)$ しか現れていないため、$f(x)$ 自身は加法定数の分だけ不定になる。このため最終結果に任意定数 $C$ が残るのは自然である。

答え

$$ f(x)=\frac12 e^{2x}+C \qquad (Cは任意定数) $$