数学3 その他応用 問題 13 解説

方針・初手

連立のまま扱うより、$x+y$ と $x-y$ を考えると式が分離できる。実際、右辺に $x,y$ が対称的に現れているので、和と差を取るのが自然である。

解法1

$$ u=x+y,\quad v=x-y $$

とおく。

すると、

$$ \frac{du}{dt}=\frac{dx}{dt}+\frac{dy}{dt} $$

であり、与えられた微分方程式

$$ \frac{dx}{dt}=y-2x,\qquad \frac{dy}{dt}=x-2y $$

を用いると、

$$ \frac{du}{dt}=(y-2x)+(x-2y)=-(x+y)=-u $$

となる。したがって、

$$ \frac{du}{dt}=-u $$

より、

$$ u=Ce^{-t} $$

である。

同様に、

$$ \frac{dv}{dt}=\frac{dx}{dt}-\frac{dy}{dt} $$

だから、

$$ \frac{dv}{dt}=(y-2x)-(x-2y)=3y-3x=-3(x-y)=-3v $$

となる。よって、

$$ \frac{dv}{dt}=-3v $$

より、

$$ v=De^{-3t} $$

である。

次に初期条件 $t=0$ のとき $x=1,\ y=0$ を用いる。

このとき、

$$ u(0)=x(0)+y(0)=1,\qquad v(0)=x(0)-y(0)=1 $$

であるから、

$$ C=1,\qquad D=1 $$

となる。したがって、

$$ u=e^{-t},\qquad v=e^{-3t} $$

である。

ここで

$$ x=\frac{u+v}{2},\qquad y=\frac{u-v}{2} $$

であるから、

$$ x=\frac{e^{-t}+e^{-3t}}{2},\qquad y=\frac{e^{-t}-e^{-3t}}{2} $$

を得る。

解説

この問題の要点は、連立微分方程式をそのまま解こうとせず、和 $x+y$ と差 $x-y$ に着目して一次の微分方程式2本に分解することである。

係数の並びが対称的なときは、和と差を取ると独立な式に落ちることが多い。本問もその典型である。

答え

$$ x=\frac{e^{-t}+e^{-3t}}{2},\qquad y=\frac{e^{-t}-e^{-3t}}{2} $$