数学3 その他応用 問題 21 解説

方針・初手

$x,y$ はそれぞれ独立な微分方程式を満たしているので，まず $x(t),y(t)$ をそれぞれ求める。 そのうえで，$y=x$ を通過する条件，すなわちある $t>0$ で $x(t)=y(t)$ となる条件を調べればよい。

解法1

与えられた微分方程式は

$$ \frac{dx}{dt}=\sqrt{x+1},\qquad \frac{dy}{dt}=\sqrt{y} $$

である。

まず $x$ について解くと，

$$ \frac{dx}{\sqrt{x+1}}=dt $$

より

$$ 2\sqrt{x+1}=t+C $$

となる。初期条件 $t=0$ で $x=a$ を用いると

$$ 2\sqrt{a+1}=C $$

であるから，

$$ 2\sqrt{x+1}=t+2\sqrt{a+1} $$

すなわち

$$ \sqrt{x+1}=\frac{t}{2}+\sqrt{a+1} $$

であり，

$$ x=\left(\frac{t}{2}+\sqrt{a+1}\right)^2-1 $$

を得る。

同様に $y$ については

$$ \frac{dy}{\sqrt{y}}=dt $$

より

$$ 2\sqrt{y}=t+C' $$

初期条件 $t=0$ で $y=b$ を用いると

$$ 2\sqrt{b}=C' $$

であるから，

$$ 2\sqrt{y}=t+2\sqrt{b} $$

すなわち

$$ y=\left(\frac{t}{2}+\sqrt{b}\right)^2 $$

である。

したがって

$$ x=\frac{t^2}{4}+t\sqrt{a+1}+a,\qquad y=\frac{t^2}{4}+t\sqrt{b}+b $$

となるので，

$$ y-x=t\bigl(\sqrt{b}-\sqrt{a+1}\bigr)+(b-a) $$

である。

動点 $P$ が正のある時刻に $y=x$ を通過するためには，ある $t>0$ で

$$ t\bigl(\sqrt{b}-\sqrt{a+1}\bigr)+(b-a)=0 $$

となればよい。

これは $t$ についての一次式であるから，$t>0$ の解をもつための必要十分条件は，定数項と $t$ の係数の符号が反対であることである。

ここで

(i)

$b-a>0$，すなわち $b>a$

(ii)

$\sqrt{b}-\sqrt{a+1}<0$，すなわち $b<a+1$

が同時に成り立てば，正の解

$$ t=\frac{b-a}{\sqrt{a+1}-\sqrt{b}} $$

をもつ。

逆に，

(i)

$b-a<0$ と （ii） $\sqrt{b}-\sqrt{a+1}>0$ を同時に満たすことは不可能である。 実際，$\sqrt{b}>\sqrt{a+1}$ なら $b>a+1>a$ となり，$b<a$ に反するからである。

また $b=a$ のときは $t=0$ でしか $y=x$ とならず，問題の条件である「正の時刻」に合わない。

以上より求める条件は

$$ a<b<a+1 $$

である。

したがって，$(a,b)$ 平面では，$a>0$ の範囲で直線 $b=a$ と $b=a+1$ にはさまれた部分である。

解説

$x(t),y(t)$ を直接求めると，$y-x$ が $t$ の一次式になる。 したがって，「正の時刻に交わるか」は，$t=0$ における符号と傾きの符号を比べれば一気に判定できる。

見落としやすいのは，$b=a$ のときである。初めから $y=x$ 上にあるが，これは $t=0$ であり，問題は「正の時刻」を要求しているので含まれない。

答え

求める点 $(a,b)$ の範囲は

$$ a>0,\qquad a<b<a+1 $$

である。

すなわち，$(a,b)$ 平面において，直線 $b=a$ と $b=a+1$ にはさまれた帯状領域のうち，$a>0$ の部分であり，境界は含まない。