数学3 その他応用 問題 22 解説

方針・初手

時間に対する増加の割合がその時点の量に比例するので、バクテリアの量 $y$ は微分方程式

$$ \frac{dy}{dt}=ky $$

を満たす。したがって、量は指数関数的に変化する。まず一般解を求め、1時間後に4倍という条件から定数を決めればよい。

解法1

培養開始後 $t$ 時間のバクテリアの量を $y(t)$、最初の量を $y(0)=A$ とする。

条件より

$$ \frac{dy}{dt}=ky $$

であるから、これを解いて

$$ y(t)=Ae^{kt} $$

を得る。

1時間後に最初の4倍になるので、

$$ y(1)=Ae^k=4A $$

より

$$ e^k=4 $$

である。したがって

$$ y(t)=A\cdot 4^t $$

となる。

（1） 2時間後の量

$t=2$ を代入すると、

$$ y(2)=A\cdot 4^2=16A $$

である。よって、2時間後には最初の $16$ 倍である。

（2） 最初の量の100倍になる時刻

$y(t)=100A$ とおくと、

$$ A\cdot 4^t=100A $$

より

$$ 4^t=100 $$

である。両辺の常用対数をとると、

$$ t\log_{10}4=\log_{10}100=2 $$

したがって

$$ t=\frac{2}{\log_{10}4} $$

となる。

ここで

$$ \log_{10}4=2\log_{10}2=2\times 0.3010=0.6020 $$

だから、

$$ t=\frac{2}{0.6020}\fallingdotseq 3.322\cdots $$

よって、小数第1位までで

$$ t=3.3 $$

である。

解説

「増加の割合がその時点の量に比例する」という条件は、典型的な指数関数的増加を表す。

この問題では、1時間で4倍になることが分かっているので、以後も同じ法則で

$$ y(t)=A\cdot 4^t $$

と表せる。したがって、2時間後は単純に $4^2$ 倍、100倍になる時刻は $4^t=100$ を対数で解けばよい。

答え

(1)

2時間後には最初の $16$ 倍である。

(2)

最初の量の $100$ 倍になるのは、培養開始後 $3.3$ 時間後である。